文档内容
2007 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9
页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角 是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数 的反函数的定义域为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．函数 的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，
若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌
照号码共有（ ）
Ａ． 个 Ｂ． 个
Ｃ． 个 Ｄ． 个
6．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或
7．平面 平面 的一个充分条件是（ ）Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
8．对于函数① ，② ，③ ，判断如下两个
命题的真假：
命题甲： 是偶函数；
命题乙： 在 上是减函数，在 上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9． 是 的导函数，则 的值是 ．
10．若数列 的前 项和 ，则此数列的通项公式为
．
11．已知向量 ．若向量 ，则实数 的值是
．
12．在 中，若 ， ， ，则 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵
爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼
成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积
为25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于
．
14．已知函数 ， 分别由下表给出
1 2 3
2 1 11 2 3
3 2 1
则 的值为 ；当 时， ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ．
（I）若 ，求 ；
（II）若 ，求正数 的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列 中， （ 是常数， ），且 成公比不
为 的等比数列．
（I）求 的值；
A
（II）求 的通项公式．
17．（本小题共14分）
D
如 图 ， 在 中 ， ， 斜 边 ．
可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面
角 的直二面角． 是 的中点．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）求异面直线 与 所成角的大小．
18．（本小题共12分） O B
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），
C
在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点
站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）
y
如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所
在直线的方程为 点 在 边所在直线上．
C
T
（I）求 边所在直线的方程； D M
（II）求矩形 外接圆的方程； N O B x
（III）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外 A
切，求动圆 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）
已知函数 与 的图象相交于 ， ， ， 分别
是 的图象在 两点的切线， 分别是 ， 与 轴的交点．
（I）求 的取值范围；
（II）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域
和值域；
（III）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点）．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．
13． 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
解：（I）由 ，得 ．
（II） ．
由 ，得 ，又 ，所以 ，
即 的取值范围是 ．
16．（共13分）
解：（I） ， ， ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
解得 或 ．
当 时， ，不符合题意舍去，故 ．
（II）当 时，由于，
，
，
所以 ．
又 ， ，故 ．
当 时，上式也成立，
所以 ．
17．（共14分）
解法一： A
（I）由题意， ， ，
是二面角 是直二面角，
，又 ，
平面 ， D
又 平面 ．
平面 平面 ．
（II）作 ，垂足为 ，连结 （如图），则 ，
是异面直线 与 所成的角．
E
在 中， ， ， O B
C
．
又 ．
在 中， ．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
z
解法二：
（I）同解法一．
A
（II）建立空间直角坐标系 ，如图，则 ， ， ，
，
D
， ，
O y
B
x
C．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
18．（共13分）
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为 ．
19．（共14分）
解：（I）因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，所以直线
的斜率为 ．
又因为点 在直线 上，
所以 边所在直线的方程为 ．
．
（II）由 解得点 的坐标为 ，
因为矩形 两条对角线的交点为 ．
所以 为矩形 外接圆的圆心．
又 ．
从而矩形 外接圆的方程为 ．
（III）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，
所以 ，
即 ．故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支．
因为实半轴长 ，半焦距 ．
所以虚半轴长 ．
从而动圆 的圆心的轨迹方程为 ．
20．（本小题共14分）
解：（I）由方程 消 得 ． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故 解得 ．
（II）由 ，求得切线 的方程为 ，
由 ，并令 ，得
， 是方程①的两实根，且 ，故 ， ，
是关于 的减函数，所以 的取值范围是 ．
是关于 的增函数，定义域为 ，所以值域为 ，
（III）当 时，由（II）可知 ．
类似可得 ． ．
由①可知 ．
从而 ．
当 时，有相同的结果 ．
所以 ．
