文档内容
2008 年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，
5}，则集合∁U （A∩B）=（ ）
A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
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【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．
【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5} A∩B={3}；
所以C （A∩B）={1，2，4，5}，
U
⇒
故选D
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）2=（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
【考点】复数代数形式的混合运算．
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【分析】先算（1+i）2，再算乘2i，化简即可．
【解答】解：∵2i（1+i）2=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i2=﹣4
故选A；
【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i2=﹣1；是基础题．
3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（ ）
A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
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【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦
的平方和，再约分化简．
【解答】解：∵
=
故选D；
【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式
中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化
弦”．
4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到
的直线为（ ）
A． B． C．y=3x﹣3 D．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
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【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°
∴两直线互相垂直
则该直线为 ，
那么将 向右平移1个单位得 ，即
故选A．
【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．
5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞ cosα，则α的取值范围是（ ）
A．（ ， ） B．（ ，π） C．（ ， ）D．（ ， ）
【考点】正切函数的单调性；三角函数线．
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【专题】计算题．
【分析】通过对sinα＞ cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质
即可得到答案．
【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞ cosα，
∴sinα﹣ cosα=2sin（α﹣ ）＞0，
∵0≤α≤2π，
∴﹣ ≤α﹣ ≤ ，
∵2sin（α﹣ ）＞0，
∴0＜α﹣ ＜π，
∴ ＜α＜ ．
故选C．
【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞ cosα等价变形是
难点，也是易错点，属于中档题．
6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、
乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）
A．70种B．112种 C．140种 D．168种
【考点】组合及组合数公式．
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【专题】计算题．
【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑
选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的
挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．
【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C 4种不同挑选方法；
10
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C 4种不同挑选方法；
8
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C 4﹣C 4=210﹣70=140种不同挑选方
10 8
法，故选C．
【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下
手，方法较简单．
7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{a }中，a =1，则其前3项的和S 的取值范围是（
n 2 3
）
A．（﹣∞，﹣1 B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣
1 ∪[3，+∞）
]
【考点】等比数列的前n项和．
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【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S （即q的代数式），然后根据q的正负性进
3
行分类，最后利用均值不等式求出S 的范围．
3
【解答】解：∵等比数列{a }中，a =1
n 2
∴
∴当公比q＞0时， ；
当公比q＜0时， ．
∴S
3
（﹣∞，﹣1 ∪[3，+∞）．
故选D．
∈ ]
【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．
8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别
过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（ ）
A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9
【考点】球面距离及相关计算．
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【专题】计算题．
【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．
【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r ，r ，r ，球
1 2 3
半径为R，则：
∴r 2：r 2：r 2=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9
1 2 3
故选D
【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾
股定理的计算能力．
9．（5分）（2008•四川）设直线l 平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有
且只有（ ）
⊂
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
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【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．
【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当
∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．
【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；
数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；
10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要
条件是（ ）
A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1D．f′（0）=0
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
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【专题】计算题．
【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必
是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案．
【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数
∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，
∴f′（0）=0
故选D
【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数
的关系．
11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f
（1）=2，则f（99）=（ ）
A．13 B．2 C． D．
【考点】函数的值．
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【专题】压轴题．
【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）= ，再由f（3）求出f
（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．
【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2
∴ ， ， ，
，
∴ ，
∴
故选C．【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式
后代值，或者得到函数的周期性求解．
12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点
A在C上且 ，则△AFK的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【考点】抛物线的简单性质．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x ，
0
y ），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y ），根据 及AF=AB=x ﹣
0 0 0
（﹣2）=x +2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．
0
【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2
∴K（﹣2，0）
设A（x ，y ），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y ）
0 0 0
∵ ，又AF=AB=x ﹣（﹣2）=x +2
0 0
∴由BK2=AK2﹣AB2得y 2=（x +2）2，即8x =（x +2）2，解得A（2，±4）
0 0 0 0
∴△AFK的面积为
故选B．
【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集
中条件求出x 是关键；
0
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为 ﹣ 6 ．
【考点】二项式定理．
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【专题】计算题．
【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别
为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展
开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出
答案．
【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为
C 013（2x）0•C 212（﹣x）2+C 112（2x）1•C 113（﹣x）1+C 212（2x）2•C 014（﹣x）0
3 4 3 4 3 4
∴所求系数为C 0•C 2+C 1•2•C 1（﹣1）+C 2•22•C 014=6﹣24+12=﹣6．
3 4 3 4 3 4
故答案为：﹣6．
【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来
源．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C
上各点到l的距离的最小值为 ．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
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【专题】数形结合．
【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；
求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求
出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．
【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；
∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为 ，
点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为 ，
∴AD=CD﹣AC=2 ﹣ = ，
故C上各点到l的距离的最小值为 ．
故答案为：
【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用
点C到直线l的距离距离公式．
15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为 ，且对角线与底面所成角的余
弦值为 ，则该正四棱柱的体积等于 2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】计算题；作图题；压轴题．
【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积．
【解答】解：：如图可知：∵
∴ ∴正四棱柱的体积等于 =2
故答案为：2
【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，
重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．16．（4分）（2008•四川）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ≥10，S ≤15，则a 的最
n n 4 5 4
大值为 4 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列．
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【专题】压轴题．
【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a 的范围，
1
a 用d或a 表示，再用不等式的性质求得其范围．
4 1
【解答】解：∵等差数列{a }的前n项和为S ，且S ≥10，S ≤15，
n n 4 5
∴ ，
即
∴
∴ ，5+3d≤6+2d，d≤1
∴a ≤3+d≤3+1=4故a 的最大值为4，
4 4
故答案为：4．
【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．
【考点】三角函数的最值．
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【专题】计算题．
【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再
利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因
为sin2x的范围为[﹣1，1 ，根据u属于[﹣1，1 时，二次函数为递减函数，利用二次函数
求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．
] ]
【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣
2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6
由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1 中的最大值为z =（﹣1﹣1）2+6=10
max
最小值为z =（1﹣1）2+6=6
min
]
故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6
【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题
的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是
关键．
18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买
乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也
是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分
布列及期望．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的
期望与方差．
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【专题】计算题．
【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入
商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买
甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．
（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习
甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．
（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期
望．
【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）
=
=
=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
（Ⅱ）
=
=0.5×0.4
=0.2
∴
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），
故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008
P（ξ=1）=C 1×0.8×0.22=0.096
3
P（ξ=2）=C 2×0.82×0.2=0.384
3
P（ξ=3）=0.83=0.512
所以Eξ=3×0.8=2.4
【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期
望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作
用；
19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直
角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ，BE
（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；
（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征．
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【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关
系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共
面．
（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二
面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角
即可．
【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC 得
延长FE交AB的延长线于G′
同理可得
故 ，即G与G′重合
因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2
取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF
故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直．
所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN
由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．
故
所以二面角A﹣ED﹣B的大小【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，
几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格
式是顺利进行求解的关键．
20．（12分）（2008•四川）设数列{a }的前n项和为S ，已知ba ﹣2n=（b﹣1）S
n n n n
（Ⅰ）证明：当b=2时，{a ﹣n•2n﹣1}是等比数列；
n
（Ⅱ）求{a }的通项公式．
n
【考点】数列的应用．
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【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知a =2a +2n．由此可知a ﹣（n+1）•2n=2a +2n﹣
n+1 n n+1 n
（n+1）•2n=2（a ﹣n•2n﹣1），所以{a ﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．
n n
（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知a =（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得
n
= ，由此能够导出
{a }的通项公式．
n
【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a ﹣2=a ，解得a =2，
1 1 1
且ba ﹣2n=（b﹣1）S
n n
ba ﹣2n+1=（b﹣1）S
n+1 n+1
两式相减得b（a ﹣a ）﹣2n=（b﹣1）a
n+1 n n+1
即a
n+1
=ba
n
+2n①
当b=2时，由①知a =2a +2n
n+1 n
于是a ﹣（n+1）•2n=2a +2n﹣（n+1）•2n=2（a ﹣n•2n﹣1）
n+1 n n
又a ﹣1•20=1≠0，所以{a ﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．
1 n
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a ﹣n•2n﹣1=2n﹣1，
n
即a =（n+1）2n﹣1
n
当b≠2时，由①得
= =
因此 =
即
所以 ．【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类
讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含S 的
n n
递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错
点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．
21．（12分）（2008•四川）设椭圆 ，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F ，F ，
1 2
离心率 ，右准线为l，M，N是l上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线．
【考点】椭圆的应用．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设 ，根据题意由 得
，由 ，得 ，
，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|2=（y ﹣y ）2=y 2+y 2﹣2y y ≥﹣2y y ﹣2y y =﹣4y y =6a2．当且仅当
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
或 时，|MN|取最小值 ，由能够推导出 与
共线．
【解答】解：由a2﹣b2=c2与 ，得a2=2b2，
，l的方程为
设
则由 得 ①
（Ⅰ）由 ，得 ②
③
由①、②、③三式，消去y ，y ，并求得a2=4
1 2
故
（Ⅱ）证明：|MN|2=（y ﹣y ）2=y 2+y 2﹣2y y ≥﹣2y y ﹣2y y =﹣4y y =6a2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
当且仅当 或 时，|MN|取最小值
此时，
故 与 共线．
【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应
用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元
的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．
22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
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【专题】计算题；压轴题；数形结合法．
【分析】（Ⅰ）先求导 ，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣
10x的一个极值点即 求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′
（x）＜0求得单调区间．
∈
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在
（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），
极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f
（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
【解答】解：（Ⅰ）因为
所以
因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞）
∈
当x （﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x （1，3）时，f′（x）＜0
∈
所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）
∈
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21
因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）
所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的
图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函
数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取
值范围．
