文档内容
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
得 分 评 卷 人 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集是 .
2．若集合 、 满足 ，则实数 =_____________.
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 =_____________.
4．若函数 的反函数为 （ ），则 .
5．若向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 =__________.
6．函数 的最大值是 .
7．在平面直角坐标系中，从六个点： 、 、 、 、
、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
8．设函数 是定义在 上的奇函数. 若当 时， ，则满足
的 的取值范围是 .
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为 . 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是
.10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界
是长轴长为 、短轴长为 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为
，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是 .
11．方程 的解可视为函数 的图像与函数 的图像交点的
( )
横坐标.若方程 的各个实根 所对应的点
（ = ）均在直线 的同侧，则实数 的取值范围是 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
得 分 评 卷 人
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 组合数 恒等于 [答] ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
13. 给定空间中的直线 及平面 . 条件“直线 与平面 内无数条直线都垂直”是“直
线 与平面 垂直”的 [答] ( )
(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点
、 的定圆所围成的区域（含边界）， 是该
圆的四等分点. 若点 、点 满足 且 ，
则称 优于 . 如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优
于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) A . B (B) . (BCC) . (D) . CD DA三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16.（本题满分12分）
得 分 评 卷 人
如图，在棱长为2的正方体 中， 的中点. 求直线 与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]得 分 评 卷 人17.（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 . 小区的两个出入口设置在点
及点 处，且小区里有一条平行于 的小路 . 已知某人从 沿 走到 用了10分钟，
从 沿 走到 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径 的长
（精确到1米）.
[解]
得 分 评 卷 人18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第
2小题满分9分．
已知双曲线 ， 是 上的任意点.
（1）求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点 的坐标为 ，求 的最小值.
[证明]（1）
[解]（2）得 分 评 卷 人
19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，
第2
小题满分8分．
已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
[解]（1）
（2）得 分 评 卷 人 20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第2
小题满分5分，第3小题满分8分．
设 是平面直角坐标系 中的点， 是经过原点与点 的直线.
记 是直线 与抛物线 的异于原点的交点.
（1）已知 . 求点 的坐标；
（2）已知点 在椭圆 上， . 求证：点 落在双曲
线 上；
（3）已知动点 满足 ， . 若点 始终落在一条关于 轴对称的
抛物线上，试问动点 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
[解]（1）[证明]（2）
[解]（3）得 分 评 卷 人
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第
2小题满分7分，第3小题满分8分．
已知以 为首项的数列 满足：
（1）当 ， 时，求数列 的通项公式；（2）当 ， 时，试用 表示数列 前100项的和 ；
（3）当 （ 是正整数）， ，正整数 时，求证：数列 ,
， ， 成等比数列当且仅当 .
[解]（1）
（2）
[证明]（3）
