文档内容
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
得 分 评 卷 人
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集是 .
2．若集合 、 满足 ，则实数 =_____________.
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 =_____________.
4．若函数 的反函数为 （ ），则 .
5．若向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 =__________.
6．函数 的最大值是 .
7．在平面直角坐标系中，从六个点： 、 、 、 、
、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表
示).
8．设函数 是定义在 上的奇函数. 若当 时， ，则满足
的 的取值范围是 .
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为 . 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是.
10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界
是长轴长为 、短轴长为 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为
，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是 .
11．方程 的解可视为函数 的图像与函数 的图像交点的
( )
横坐标.若方程 的各个实根 所对应的点
（ = ）均在直线 的同侧，则实数 的取值范围是 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
得 分 评 卷 人
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 组合数 恒等于 [答] ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
13. 给定空间中的直线 及平面 . 条件“直线 与平面 内无数条直线都垂直”是“直
线 与平面 垂直”的 [答] ( )
(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点
、 的定圆所围成的区域（含边界）， 是该
圆的四等分点. 若点 、点 满足 且 ，
则称 优于 . 如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优
于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧 [答] ( )
AB BC CD DA(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16.（本题满分12分）
得 分 评 卷 人
如图，在棱长为2的正方体 中， 的中点. 求直线 与平
面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]得 分 评 卷 人
17.（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 . 小区的两个出入口设置在点
及点 处，且小区里有一条平行于 的小路 . 已知某人从 沿 走到 用了10分钟，
从 沿 走到 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径 的长
（精确到1米）.
[解]
得 分 评 卷 人18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第
2小题满分9分．
已知双曲线 ， 是 上的任意点.
（1）求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点 的坐标为 ，求 的最小值.
[证明]（1）
[解]（2）得 分 评 卷 人
19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，
第2
小题满分8分．
已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
[解]（1）
（2）得 分 评 卷 人
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第2
小题满分5分，第3小题满分8分．
设 是平面直角坐标系 中的点， 是经过原点与点 的直
线.记 是直线 与抛物线 的异于原点的交点.
（1）已知 . 求点 的坐标；
（2）已知点 在椭圆 上， . 求证：点 落在双
曲线 上；
（3）已知动点 满足 ， . 若点 始终落在一条关于 轴对称的
抛物线上，试问动点 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
[解]（1）[证明]（2）
[解]（3）得 分 评 卷 人
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第
2小题满分7分，第3小题满分8分．
已知以 为首项的数列 满足：
（1）当 ， 时，求数列 的通项公式；（2）当 ， 时，试用 表示数列 前100项的和 ；
（3）当 （ 是正整数）， ，正整数 时，求证：数列 ,
， ， 成等比数列当且仅当 .
[解]（1）
（2）
[证明]（3）200 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考
试
上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答
中评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一
题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应
给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1题至第11题）
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. 2. 7. . 8. . 9. .
10. . 11. .
二、（第12题至第15题）
题 号 12 13 14 15
代 号 D C B D
三、（第16题至第21题）
16．[解] 过 作 ，交 于 ，连接 .
，
是直线 与平面 所成的角. …… 4分
由题意，得 .
, . …… 8分
， . …… 10分
故直线 与平面 所成角的大小是 . …… 12分
17. [解法一] 设该扇形的半径为 米. 连接 . …… 2分
由题意，得=500（米）， =300（米）， . …… 4分
在△ 中， ， …… 6分
即 ， …… 9分
解得 （米）.
答：该扇形的半径 的长约为445米. …… 13分
[解法二] 连接 ，作 ，交 于 . …… 2分
由题意，得 =500（米）， =300（米）， . …… 4分
在△ 中，
，
（米）， …… 6分
. …… 9分
在直角△ 中， （米）， ，
（米）.
答：该扇形的半径 的长约为445米. …… 13分
18. [解] （1）设 是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是 和 . …… 2分
点 到两条渐近线的距离分别是 和 ， …… 4分
它们的乘积是 .
点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分
（2）设 的坐标为 ，则
…… 8分. …… 11分
， …… 13分
当 时， 的最小值为 ，
即 的最小值为 . …… 15分
19. [解] （1）当 时， ；当 时， . …… 2分
由条件可知 ，即 ，
解得 . …… 6分
， . …… 8分
（2）当 时， ， …… 10分
即 .
， . …… 13分
，
故 的取值范围是 . …… 16分
20. [解]（1）当 时，
解方程组 得
即点 的坐标为 . …… 3分
[证明]（2）由方程组 得
即点 的坐标为 . …… 5分是椭圆上的点，即 ，
.
因此点 落在双曲线 上. …… 8分
（3）设 所在抛物线的方程为 ， . …… 10分
将 代入方程，得 ，即 . …… 12分
当 时， ，此时点 的轨迹落在抛物线上；
当 时， ，此时点 的轨迹落在圆上；
当 且 时， ，此时点 的轨迹落在椭圆上；
当 时， ，此时点 的轨迹落在双曲线上.
…… 16分
21. [解]（1）由题意得 . …… 3分
（2）当 时，
， ， ， ， ， ，…，
， ， ，… …… 6分. …… 10分
（3）当 时， ；
， ；
， ；
， .
， ， ， .
综上所述，当 时，数列 ， ， ， 是公比为
的等比数列. ……13分
当 时， ，
， ，
. ……15分
由于 ， ， ，故数列 ， ， ， 不是等比数列.
所以，数列 ， ， ， 成等比数列当且仅当 .
……18分
1.不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】由 .
2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ .
【答案】
【解析】由 .
3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ .
【答案】
【解析】由 .
4.若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ .
【答案】
【解析】令 .
5.若向量\s\up6(()、\s\up6(()满足|\s\up6(()|＝1，|\s\up6(()|＝2，且\s\up6(()与\s\up6(()的夹角为，
则|\s\up6(()+\s\up6(()|＝ .
【答案】
【解析】
.
6.函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 .
【答案】
【解析】由 .
7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.
【答案】
【解析】已知 六个无共线的点生成三角形总数为：
；可构成三角形的个数为： ，所以所求概率为： ；
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的
取值范围是 .
【答案】
【解析】 由f(x)为奇函数得：
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数
为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .
【答案】
【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须 时，总体方差最小；
10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是
长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 、h ，且
1 2
两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只
的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 θ 、θ ，那么船只已进入该
1 2
浅水区的判别条件是 .
【答案】
【解析】依题意，
；
11.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax
－4＝0的各个实根x
1
，x
2
，…，x
k
(k≤4)所对应的点(x
i
,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】方程的根显然 ，原方程等价于 ，原方程的实根是曲线
与曲线 的交点的横坐标；而曲线 是由曲线 向上或向下
平移 个单位而得到的。若交点(x ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x
i
与 交点为： ；所以结合图象可得：
；
12.组合数C（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C
【答案】
【解析】由 .
13. 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平
面垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】
【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，
即充分性不成立；
14. 若数列{a
n
}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{a
n
}各项的和为a，则a的值
是（ ） A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】由 .15.如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点
C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、
P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果 中的点Q满足：不存在 中的其它点优
于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）
A． AB B． BC C． CD D． DA
【答案】 y A
·
【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过
该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的
D · · B
左上方区域（权且称为“第二象限”）与点
Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的
·
集合才为所求. 检验得：D． DA O C x
