文档内容
2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=
（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出 2名男医生、1名女医生组
成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2
为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F 、F ，点A在C上，若|F A|
1 2 1=2|F A|，则cos∠AF F =（ ）
2 2 1
A． B． C． D．
10．（5 分）等比数列{a }中，a =2，a =5，则数列{lga }的前 8 项和等于（
n 4 5 n
）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，AB α，AB⊥l，A为垂足，CD β，
C l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成 ⊂ 角的余弦值为（ ） ⊂
∈
A． B． C． D．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分） 的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
15．（5 分）直线 l 和 l 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l 与 l 的交点为（1，
1 2 1 2
3），则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的
取值范围是 ．
三、解答题
17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．18．（12 分）等差数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a =13，a 为整数，且
n n 1 2
S ≤S ．
n 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b = ，求数列{b }的前n项和T．
n n n
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为
0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过 F的直线 l 与C相交于 A、B两点，若 AB 的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a =1，a =ln（a +1），证明： ＜a ≤ （n N*）．
1 n+1 n n
∈2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【解答】解：∵z= = ，
∴ ．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础
题．
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°= ＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°= ＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，
属基础题．
4．（5分）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（ + ）• =0，（2 + ）•
=0，由此求得| |．
【解答】解：由题意可得，（ + ）• = + =1+ =0，∴ =﹣1；
（2 + ）• =2 + =﹣2+ =0，∴b2=2，则| |= ，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积
等于零，属于基础题．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出 2名男医生、1名女医生组
成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生
中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C 2=15种选法，
6
再从5名女医生中选出1人，有C 1=5种选法，
5
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2
为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF B 的周长为 4 ，求出 a= ，根据离心率为 ，可得
1
c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF B的周长为4 ，
1
∵△AF B的周长=|AF |+|AF |+|BF |+|BF |=2a+2a=4a，
1 1 2 1 2
∴4a=4 ，
∴a= ，
∵离心率为 ，
∴ ，c=1，
∴b= = ，
∴椭圆C的方程为 + =1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算
能力，属于基础题．
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【考点】62：导数及其几何意义．
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【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO 上，记为 O，求出
1
PO ，OO ，解出球的半径，求出球的表面积．
1 1
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（ ）2，
∴R= ，
∴球的表面积为4π•（ ）2= ．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础
题．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F 、F ，点A在C上，若|F A|
1 2 1
=2|F A|，则cos∠AF F =（ ）
2 2 1
A． B． C． D．【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e= ，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F A|﹣|F A|=2a，
1 2
又|F A|=2|F A|，
1 2
∴解得|F A|=4a，|F A|=2a，||F F |=2c，
1 2 1 2
则 由 余 弦 定 理 得 cos∠ AF F = =
2 1
= ．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是
解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．（5 分）等比数列{a }中，a =2，a =5，则数列{lga }的前 8 项和等于（
n 4 5 n
）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的性质可得a a =a a =a a =a a =10．再利用对数的运算性
1 8 2 7 3 6 4 5
质即可得出．
【解答】解：∵数列{a }是等比数列，a =2，a =5，
n 4 5
∴a a =a a =a a =a a =10．
1 8 2 7 3 6 4 5∴lga +lga +…+lga
1 2 8
=lg（a a •…•a ）
1 2 8
=
4lg10
=4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，AB α，AB⊥l，A为垂足，CD β，
C l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成 ⊂ 角的余弦值为（ ） ⊂
∈
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】5G：空间角．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，
利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，
过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE= a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF= a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF= = = ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平
面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难
题．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
【考点】4R：反函数．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的
对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对
称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分） 的展开式中x2y2的系数为 70 ．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】5P：二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x、y的幂指数都等于2，求得
r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
【解答】解： 的展开式的通项公式为 T = •（﹣1）r• •
r+1
= •（﹣1）r• • ，
令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式
的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）设x、y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 5 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得 ．
由图可知，当直线 过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z =1+4×1=5．
max
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
15．（5 分）直线 l 和 l 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l 与 l 的交点为（1，
1 2 1 2
3），则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l 与l 的夹角为2θ，由于l 与l 的交点A（1，3）在圆的外部，由直
1 2 1 2
角三角形中的边角关系求得 sinθ= 的值，可得 cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ= ，计算求得结果．
【解答】解：设l 与l 的夹角为2θ，由于l 与l 的交点A（1，3）在圆的外部，
1 2 1 2
且点A与圆心O之间的距离为OA= = ，
圆的半径为r= ，
∴sinθ= = ，
∴cosθ= ，tanθ= = ，
∴tan2θ= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角
三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的
取值范围是 （﹣ ∞ ， 2 ] ．
【考点】HM：复合三角函数的单调性．
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【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令 t=sinx换元，根据给出的x
的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式
求解a的范围．
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x （ ， ）时f（x）为减函数，
∈则y=﹣2t2+at+1在t （ ，1）上为减函数，
∈
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t= ．
∴ ，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为
减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
三、解答题
17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同
角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan
（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA= ，
∴2tanC=3× =1，解得tanC= ．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1，
∵B （0，π），
∈∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切
公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，
属于中档题．
18．（12 分）等差数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a =13，a 为整数，且
n n 1 2
S ≤S ．
n 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b = ，求数列{b }的前n项和T．
n n n
【考点】8E：数列的求和．
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【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过S ≤S 得a ≥0，a ≤0，利用a =13、a 为整数可得d=﹣4，
n 4 4 5 1 2
进而可得结论；
（2）通过a =13﹣3n，分离分母可得b = （ ﹣ ），并项相加即可．
n n
【解答】解：（1）在等差数列{a }中，由S ≤S 得：
n n 4
a ≥0，a ≤0，
4 5
又∵a =13，
1
∴ ，解得﹣ ≤d≤﹣ ，
∵a 为整数，∴d=﹣4，
2
∴{a }的通项为：a =17﹣4n；
n n
（2）∵a =17﹣4n，
n
∴b = = =﹣ （ ﹣ ），
n
于是T=b +b +……+b
n 1 2 n
=﹣ [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+……+（ ﹣ ）]=﹣ （ ﹣ ）
= ．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积
累，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A FD为二面角A ﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角
1 1
函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A D⊥平面ABC，A D 平面AA C C，
1 1 1 1
∴平面AA C C⊥平面ABC，又BC⊥AC
1 1 ⊂
∴BC⊥平面AA C C，连结A C，
1 1 1
由侧面AA C C为菱形可得AC ⊥A C，
1 1 1 1
又AC ⊥BC，A C∩BC=C，
1 1
∴AC ⊥平面A BC，AB 平面A BC，
1 1 1 1
∴AC ⊥A B；
1 1 ⊂（Ⅱ）∵BC⊥平面AA C C，BC 平面BCC B ，
1 1 1 1
∴平面AA C C⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 ⊂
作A E⊥CC ，E为垂足，可得A E⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 1
又直线AA ∥平面BCC B ，
1 1 1
∴A E为直线AA 与平面BCC B 的距离，即A E= ，
1 1 1 1 1
∵A C为∠ACC 的平分线，∴A D=A E= ，
1 1 1 1
作DF⊥AB，F为垂足，连结A F，
1
又可得AB⊥A D，A F∩A D=A ，
1 1 1 1
∴AB⊥平面A DF，∵A F 平面A DF
1 1 1
∴A F⊥AB，
1 ⊂
∴∠A FD为二面角A ﹣AB﹣C的平面角，
1 1
由AD= =1可知D为AC中点，
∴DF= = ，
∴tan∠A FD= = ，
1
∴二面角A ﹣AB﹣C的大小为arctan
1
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关
键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为
0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机
变量的期望与方差．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】记A表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事
i
件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少
3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，
即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX，再利用数学期望公式计
i
算即可．
【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+ （ 1﹣0.6 ） ×0.5×0.5×0.4+0.6× （ 1﹣0.5 ）
×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P （ X=1 ） =0.6×0.52× （ 1﹣0.4 ） + （ 1﹣0.6 ） ×0.52×0.4+ （ 1﹣0.6 ）
×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A •B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
2
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣
0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，
计算要有耐心，属于难题．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过 F的直线 l 与C相交于 A、B两点，若 AB 的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x ，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，
0
求得x = ，根据|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．
0
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、
中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，
利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN
四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点 Q的坐标为（x ，4），把点Q的坐标代入抛物线C：
0
y2=2px（p＞0），
可得x = ，∵点P（0，4），∴|PQ|= ．
0
又|QF|=x + = + ，|QF|= |PQ|，
0
∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得 y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y +y =4m，
1 2
y •y =﹣4．
1 2
∴AB 的中点坐标为 D（2m2+1，2m），弦长|AB|= |y ﹣y |=
1 2
=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两
点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y +y = ，y •y =
3 4 3 4
﹣4（2m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y ﹣y |=
3 4
，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，
∴ +DE2= MN2，
∴4（m2+1）2 + + = × ，化简可得 m2
﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应
用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a =1，a =ln（a +1），证明： ＜a ≤ （n N*）．
1 n+1 n n
∈
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．
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【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论 a的取值范围，即可得到f（x）的单调
性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=
，
①当1＜a＜2时，若x （﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数 f（x）在
（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
∈
若x （a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函
数，
∈
若x （0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
∈
③当a＞2时，若x （﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）
上是增函数，
∈
若x （0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函
数，
∈
若x （a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是
增函数．
∈
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x （0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln ∈ （x+1）＞ ，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x （0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，
∈
下面用数学归纳法进行证明 ＜a ≤ 成立，
n
①当n=1时，由已知
，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即 ，
则当n=k+1时，a =ln（a +1）＞ln（ ） ，
n+1 n
a =ln（a +1）＜ln（ ） ，
k+1 k
即当n=k+1时， 成立，
综上由①②可知，对任何n N•结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证
∈
明不等式，综合性较强，难度较大．
