文档内容
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
得 分 评 卷 人
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集是 .
2．若集合 、 满足 ，则实数 = .
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 = .
4．若函数 的反函数为 ，则 .
5．若向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 = .
6．若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 .
7．若 是实系数方程 的一个虚根，且 ，则 .
8．在平面直角坐标系中，从五个点： 、 、 、 、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.
9．若函数 是偶函数，且它的值域为
，
则该函数的解析式 .10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为 . 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是
.
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 、 、
. 如果
是△ 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点
的坐标是 .
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
得 分 评 卷 人
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 设 是椭圆 上的点. 若 、 是椭圆的两个焦点，则 等于
[答] ( )
(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.
13. 给定空间中的直线 及平面 . 条件“直线 与平面 内两条相交直线都垂直”是“直
线 与平面 垂直”的 [答] ( )
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点
、 的定圆所围成的区域（含边界）， 是该
圆的四等分点. 若点 、点 满足 且 ，
则称 优于 . 如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优
于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) A B . (B) B.C (C) . C D (D) . DA
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
得 分 评 卷 人16.（本题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体 中， 的中点. 求直线 与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]得 分 评 卷 人
17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形 . 小区的两个出入口设置在点 及点 处. 小区里
有两条笔直的小路 、 ，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从 沿 走到 用了10
分钟，从 沿 走到 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径
的长（精确到1米）.
[解]得 分 评 卷 人
18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，
第2
小题满分10分．已知函数 ，直线 与函数 、
的图像分别交于 两点.
（1）当 时，求 的值；
（2）求 在 时的最大值.
[解]（1）
（2）得 分 评 卷 人
19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，
第
2小题满分8分．
已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
[解] （1）
（2）得 分 评 卷 人
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线 .
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）已知点 的坐标为 . 设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称
点. 记 . 求 的取值范围；
（3）已知点 的坐标分别为 ， 为双
曲线 上在第一象限内的点. 记 为经过原点与点 的直线， 为△ 截直线 所得线段的
长. 试将 表示为直线 的斜率 的函数.
[解]（1）
（2）（3）得 分 评 卷 人
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，
第2
小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列 ： ， ， ， （ 是正整数），与数列
： ， ， ， ， （ 是正整数）. 记
.
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， 中有4项为100. 求 的值，并指出哪4项为100.
[解] (1)
[证明]（2）
[解]（3）200 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考
试
上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答
中评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一
题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应
给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1题至第11题）
1. . 2. . 3. . 4. .
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. . 11. .
二、（第12题至第15题）
题 号 12 13 14 15
代 号 D C B D
三、（第16题至第21题）
16．[解] 过 作 ，交 于 ，连接 .
，
是直线 与平面 所成的角. …… 4分
由题意，得 .
, . …… 8分
， . …… 10分故直线 与平面 所成角的大小是 . …… 12分
17. [解法一] 设该扇形的半径为 米. 由题意，得
=500（米）， =300（米）， . …… 4分
在△ 中， ， …… 6分
即 , …… 9分
解得 （米）.
答：该扇形的半径 的长约为445米. …… 13分
[解法二] 连接 ，作 ，交 于 . …… 2分
由题意，得 =500（米）， =300（米）， . …… 4分
在△ 中，
，
（米）， …… 6分
. …… 9分
在直角△ 中， （米）， ，
（米）.
答：该扇形的半径 的长约为445米. …… 13分
18. [解] （1） …… 2分
. …… 5分
（2）
…… 8分
. …… 11分， ， …… 13分
的最大值为 . …… 15分
19. [解] （1）当 时， ；当 时， . …… 2分
由条件可知 ，即 ，
解得 . …… 6分
， . …… 8分
（2）当 时， ， …… 10分
即 .
， . …… 13分
，
故 的取值范围是 . …… 16分
20. [解]（1）所求渐近线方程为 . …… 3分
（2）设 的坐标为 ，则 的坐标为 . …… 4分
. …… 7分
,
的取值范围是 . …… 9分
（3）若 为双曲线 上第一象限内的点，
则直线 的斜率 . …… 11分
由计算可得，当 时， ；当 时， . …… 15分
表示为直线 的斜率 的函数是
…… 16分
21. [解]（1）
. …… 2分
， . …… 4分
[证明]（2）用数学归纳法证明：当 时， .
① 当 时， ，等式成立. …… 6分
② 假设 时等式成立，即 ，
那么当 时，
…… 8分
，等式也成立.
根据①和②可以断定：当 时， . …… 10分
[解]（3） ( ).
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， . …… 13分
是奇数， ， ， 均为负数，
这些项均不可能取到100. …… 15分
，解得 ， ，
此时 为100. …… 18分
1．不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】由 .
2．若集合 ， 满足 ，则实数a= ．
【答案】
【解析】由 .
3．若复数z满足 (i是虚数单位)，则z= ．
【答案】
【解析】由 .
4．若函数 的反函数为 ，则 ．
【答案】
【解析】令 则 且
5．若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 ．
【答案】
【解析】6．若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 ．
【答案】-1
【解析】直线 经过抛物线 的焦点 则
7．若 是实系数方程 的一个虚根，且 ，则 ．
【答案】4
【解析】设 ,则方程的另一个根为 ,且 ，
由韦达定理直线
所以
8．在平面直角坐标系中，从五个点： 中
任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．
【答案】
【解析】由已知得
所以五点中任选三点能构成三角形的概率为
9．若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，
则该函数的解析式 ．
【答案】
【解析】 是偶函数，则其图象关于
y轴对称, 且值域为 ，10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别 ．
【答案】
【解析】中位数为10.5 根据均值不等式知，只需 时，
总体方差最小.
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．如果
是 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点 的坐标
是 ．
【答案】
【解析】作图知 取到最大值时，点 在线段BC上,
故当 时, 取到最大值.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选
对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零
分．
12．设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，
则 等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【解析】 由椭圆的第一定义知
13．给定空间中的直线l及平面 ．条件“直线l与平面 内两条相交直线都垂直”
是“直线l与平面 垂直”的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】“直线l与平面 内两条相交直线都垂直” “直线l与平面 垂直”.
14．若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为a，
则 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
【答案】B
【解析】由 .
15．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点
C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点 、
点 满足 且 ，则称P优于 ．如果 中的点 满足：不存在
中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ D ）
Ａ． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意知，若P优于 ,则P在 的左上方,
y
A
当Q在 上时, 左上的点不在圆上,
不存在其它优于Q的点,
D B
Q组成的集合是劣弧 . x
O C
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．(本题满分12分)
如图，在棱长为 2的正方体 中，E是BC 的中点．求直线 DE与平面
1
ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
16. 【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分
由题意，得EF=
∵ …………………………..8分
∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分故直线DE与平面ABCD所成角的大小是 ….12分
D1 C1
D1 C1
A1 B1
A1 B1
E
E
D D
C C
F
A B A
B
17．（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里
有两条笔直的小路 ，且拐弯处的转角为 ．已知某人从 沿 走到 用了
10分钟，从 沿 走到 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟 50米，求该扇形的
半径 的长（精确到1米）．
C
17. 【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
A
1200
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= ……………………………4分
O
在 中， ……………6分
即 …………………….9分
解得 （米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米）， ………….4分
C
H
A
1200
∴ AC=700（米） …………………………..6分 O
………….…….9分
在直角
∴ （米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos ，直线
与函数 的图象分别交于M、N两点．
（1）当 时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在 时的最大值．
18、【解】（1） …………….2分
………………………………5分
（2） ……...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴ ｜MN｜的最大值为 . ……………15分
19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数m的取值范围．
19、【解】（1） . …………….2分
由条件可知， 解得 …………6分∵ …………..8分
（2）当 ……………10分
即
………………13分
故m的取值范围是 …………….16分
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
已知双曲线 ．
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）已知点 的坐标为 ．设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称点．
记 ．求 的取值范围；
（3）已知点 的坐标分别为 ， 为双曲线 上在第一象限
内的点．记 为经过原点与点 的直线， 为 截直线 所得线段的长．试将
表示为直线 的斜率 的函数．
20、【解】（1）所求渐近线方程为 ……………...3分
（2）设P的坐标为 ，则Q的坐标为 ， …………….4分
……………7分
的取值范围是 ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线 的斜率 ……………11分由计算可得，当
当 ……………15分
∴ s表示为直线 的斜率k的函数是
….16分
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，
第3小题满分8分．
已知数列 ： ， ， ， （ 是正整数），与数列
： ， ， ， ， （ 是正整数）．
记 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， ， ， 中有 4 项为
100．
求 的值，并指出哪4项为100．
21、【解】（1）
………………..2分
∵ ………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
① 当n=1时， 等式成立….6分② 假设n=k时等式成立，即
那么当 时，
………8分
等式也成立.
根据①和②可以断定：当 …………………...10分
【解】（3）
………………………..13分
∵ 4m+1是奇数， 均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时， 为100. …………………………18分
