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2020年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，2， ，集合 ，4， ，则 ．
2．计算： ．
3．已知复数 为虚数单位），则 ．
4．已知函数 ， 是 的反函数，则 ．
5．已知 、 满足 ，则 的最大值为 ．
6．已知行列式 ，则 ．
7．已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．
8．已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ．
9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
10．已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方
程是 ．
11．设 ，若存在定义域为 的函数 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的 ， 的值为 或 ；
（2）关于 的方程 无实数解，
则 的取值范围是 ．
12．已知 ， ， ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，满足
，且 ， （其中 ，2， ，2， ， ，则 的最大值是
．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．下列等式恒成立的是
A． B． C． D．
14．已知直线方程 的一个参数方程可以是
A． 为参数） B． 为参数）
C． 为参数） D． 为参数）
15．在棱长为10的正方体 中， 为左侧面 上一点，已知点 到的距离为3， 到 的距离为2，则过点 且与 平行的直线相交的面是
A． B． C． D．
16．命题 ：存在 且 ，对于任意的 ，使得 （a）；
命题 单调递减且 恒成立；
命题 单调递增，存在 使得 ，
则下列说法正确的是
A．只有 是 的充分条件 B．只有 是 的充分条件
C． ， 都是 的充分条件 D． ， 都不是 的充分条件
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知 是边长为1的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角．18．（14分）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数
除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车
辆密度．
．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 ，交通流量 ，求车辆密度 的最大值．20．（16分）已知双曲线 与圆 交于点 ，
（第一象限），曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且
，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示
，并求 的取值范围．21．（18 分）已知数列 为有限数列，满足 ，则称
满足性质 ．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质 ，请说明理由；
（2）若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围；
（3）若 是1，2，3， ， 的一个排列 ， 符合 ，2， ，
， 、 都具有性质 ，求所有满足条件的数列 ．参考答案
，
1．
【解析】因为 ，2， ， ，4， ，则 ， ．故答案为： ， ．
2．
【解析】 ，故答案为： ．
3．
【解析】由 ，得 ．故答案为： ．
4．
【解析】由 ，得 ，把 与 互换，可得 的反函数为
．
故答案为： ．
5．-1【解析】由约束条件 作出可行域如图阴影部分，
化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的
截距最大，联立 ，解得 ，即 ．
有最大值为 ．故答案为： ．
6．2
【解析】行列式 ，可得 ，解得 ．
故答案为：2．
7．36
【解析】因为四个数的平均数为4，所以 ，
因为中位数是3，所以 ，解得 ，代入上式得 ，
所以 ，故答案为：36．8．
【解析】根据题意，等差数列 满足 ，即 ，变形可得
，所以 ．
故答案为： ．
9．180
【解析】根据题意，可得排法共有 种．
故答案为：180．
10．
【解析】椭圆 的右焦点为 ，
直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点（点 在第二象限），
若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，
可知直线 的斜率为 ，所以直线 的方程是： ，
即 ．
故答案为： ．11． ， ， ，
【解析】根据条件（1）可得 或 （1） ，
又因为关于 的方程 无实数解，所以 或1，
故 ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ．
12．6
【解析】如图，设 ， ，
由 ，且 ， ，分别以 ， 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任
意两圆的公共点共有6个．故满足条件的 的最大值为6．故答案为：6．
13．B【解析】 ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
． ， ， ，故 正确；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误．
故选： ．
14．B
【解析】 为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确；
为参数）的普通方程为： ，即 ，正确；
为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确；
为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确；故选： ．
15．D
【解析】如图，由点 到 的距离为3， 到 的距离为2，
可得 在△ 内，过 作 ，且 于 ， 于 ，
在平面 中，过 作 ，交 于 ，则平面 平面 ．
连接 ，交 于 ，连接 ， 平面 平面 ，平面 平面
，平面 平面 ， ．
在 中，过 作 ，且 于 ，则 ．
线段 在四边形 内， 在线段 上， 在四边形 内．
过点 且与 平行的直线相交的面是 ．故选： ．
16．C
【解析】对于命题 ：当 单调递减且 恒成立时，
当 时，此时 ，又因为 单调递减，所以
又因为 恒成立时，所以 （a），所以 （a），所以命题 命题 ，对于命题 ：当 单调递增，存在 使得 ，
当 时，此时 ， （a） ，
又因为 单调递增，所以 ，所以 （a），
所以命题 命题 ，所以 ， 都是 的充分条件，故选： ．
17．【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为 、宽为1的矩
形组成， ．故该圆柱的表面积为 ．
（2） 正方形 ， ，
又 ， ，
，且 、 平面 ，
平面 ，即 在面 上的投影为 ，
连接 ，则 即为线段 与平面 所成的角，
而 ， 线段 与平面 所成的角为 ．
18．【解析】（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 ．
令 ，故 或 ，整理得 或 ．
故解集为 或 ， ．（2）由于 ，所以 ．所以
由于 ， ，所以 ．
，故 ，故 ．
所以函数 的值域为 ．
19．【解析】（1） ， 越大， 越小，
是单调递减函数， ，
当 时， 最大为85，
于是只需令 ，解得 ，
故道路密度 的取值范围为 ．
（2）把 ， 代入 中，
得 ，解得 ．
，
当 时， 单调递增， ；当 时， 是关于 的二次函数，开口向下，对称轴为 ，
此时 有最大值，为 ．
故车辆密度 的最大值为 ．
20．【解析】（1）由 ，点 为曲线 与曲线 的交点，联立 ，
解得 ， ；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，又 ， ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，在△ 中，由余弦定理可得
，由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点 到直线 的距离 ，
所以直线 是圆的切线，设切点为 ，
所以 ，并设 与圆 联立，可得 ，可得 ， ，即 ，
注意直线 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线 才能与曲线 有两个交点，
由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，则 ， ．
21．【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有 ， ， ，满足题意，
该数列满足性质 ；
对于第二个数列4、3、2、5、1， ， ， ．不满足题意，该数列
不满足性质 ．
（2）由题意： ，可得： ， ，3， ， ，
两边平方可得： ，
整理可得： ，当 时，得 此时关于 恒成立，
所以等价于 时， ，所以， ，所以 ，或 ，所以取 ，
当 时 ， 得 ， 此 时 关 于 恒 成 立 ， 所 以 等 价 于 时 ，
，
所以 ，所以 ，所以取 ．
当 时： ，
当 为奇数时，得 ，恒成立，当 为偶数时， ，不恒成立；
故当 时，矛盾，舍去．
当 时，得 ，当 为奇数时，得 ，恒成立，
当 为偶数时， ，恒成立；故等价于 时， ，
所以 ，所以 或 ，所以取 ，
综上 ， ．
（3）设 ， ，4， ， ， ，
因为 ， 可以取 ，或 ， 可以取 ，或 ，
如果 或 取了 或 ，将使 不满足性质 ；所以 的前5项有以下组合：
① ， ； ； ； ；② ， ； ； ； ；
③ ， ； ； ； ；
④ ， ； ； ； ；
对于①， ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去；
对于②， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去；
对于③， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去；
对于④ ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去；
所以 ，4， ， ， ，均不能同时使 、 都具有性质 ．
当 时，有数列 ，2，3， ， ， 满足题意．
当 时，有数列 ， ， ，3，2，1满足题意．
当 时，有数列 ，1，3， ， ， 满足题意．
当 时，有数列 ， ， ， ， ，3，2，1满足题意．
所以满足题意的数列 只有以上四种。
