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2020年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，2， ，集合 ，4， ，则 ．
2．计算： ．
3．已知复数 为虚数单位），则 ．
4．已知函数 ， 是 的反函数，则 ．
5．已知 、 满足 ，则 的最大值为 ．
6．已知行列式 ，则 ．
7．已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．
8．已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ．
9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
10．已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方
程是 ．
11．设 ，若存在定义域为 的函数 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的 ， 的值为 或 ；
（2）关于 的方程 无实数解，
则 的取值范围是 ．
12．已知 ， ， ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，满足
，且 ， （其中 ，2， ，2， ， ，则 的最大值是
．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．下列等式恒成立的是
A． B． C． D．
14．已知直线方程 的一个参数方程可以是
A． 为参数） B． 为参数）
C． 为参数） D． 为参数）
15．在棱长为10的正方体 中， 为左侧面 上一点，已知点 到的距离为3， 到 的距离为2，则过点 且与 平行的直线相交的面是
A． B． C． D．
16．命题 ：存在 且 ，对于任意的 ，使得 （a）；
命题 单调递减且 恒成立；
命题 单调递增，存在 使得 ，
则下列说法正确的是
A．只有 是 的充分条件 B．只有 是 的充分条件
C． ， 都是 的充分条件 D． ， 都不是 的充分条件
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知 是边长为1的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角．18．（14分）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数
除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车
辆密度．
．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 ，交通流量 ，求车辆密度 的最大值．20．（16分）已知双曲线 与圆 交于点 ，
（第一象限），曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且
，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示
，并求 的取值范围．21．（18 分）已知数列 为有限数列，满足 ，则称
满足性质 ．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质 ，请说明理由；
（2）若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围；
（3）若 是1，2，3， ， 的一个排列 ， 符合 ，2， ，
， 、 都具有性质 ，求所有满足条件的数列 ．
