2019年上海高考数学真题试卷（word解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_上海高考数学真题02-21

绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） A,3、B2, 1. 已知集合 ，则A B________.  1 2. 已知 且满足 5i，求 ________. zC z z   3. 已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________. 4. 已知二项式 2x15 ，则展开式中含x2项的系数为________.  x0  5. 已知x、y满足 y0 ，求 的最小值为________.  x y2  6. 已知函数 周期为 ，且当 ， ，则 ________. 7. 若 ，且 ，则 的最大值为________. 8. 已知数列 前n项和为 ，且满足 ，则 ______. 9. 过 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与 交于 ， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 ______. 10. 某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 _______. 11. 已知数列 满足 （ ）， 在双曲线 上，则 _______. 12. 已知 ，若 ， 与 轴交点为 ， 为曲 线 ，在 上任意一点 ，总存在一点 （ 异于 ）使得 且 ， 则 __________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） A. B. C. D. 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 15. 已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为偶 函数，则 可能的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知 . ①存在 在第一象限，角 在第三象限； ②存在 在第二象限，角 在第四象限； A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 三.解答题（本大题共5题，共76分） 17. （本题满分14分）如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ， ， ， . （1）求直线 与平面 的夹角； （2）求点 到平面 的距离. 18.（本题满分14分）已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， 有零点，求 的范围. 19.（本题满分14分）如图， 为海岸线， 为线段， 为四分之一圆弧， ， ， ， . （1）求 长度； （2）若 ，求 到海岸线 的最短距离.（精确到 ）20.（本题满分16分） 已知椭圆 ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于A、B两点. （1）若AB垂直于 轴时，求 ； （2）当 时， 在 轴上方时，求 的坐标； （3）若直线 交 轴于 M，直线 交 轴于 N，是否存在直线 ，使 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分18分） 数列 有 项， ，对任意 ，存在 ，若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 . （1）若 ，求 可能的值； （2）若 不为等差数列，求证： 中存在满足性质 ； （3）若 中恰有三项具有性质 ，这三项和为 ，使用 表示 .上海市2019 届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） A,3、B2, 1.已知集合 ，则A B________.  【思路分析】然后根据交集定义得结果． (2,3) 【解析】：根据交集概念，得出： . 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 1 2.已知 且满足 5i，求 ________. zC z z 【思路分析】解复数方程即可求解结果． 1 1 5i 5 1 【解析】： 5i， z    i . z 5i (5i)(5i) 26 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．   3.已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________. 【思路分析】根据夹角运算公式 求解． 【解析】： . 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式 2x15 ，则展开式中含x2项的系数为________. x2 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数． 【解析】：T C r (2x)5r 1r C r 25r x5r r1 5 5 令5r 2，则r 3，x2系数为C322 40. 5 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．  x0  5.已知x、y满足 y0 ，求 的最小值为________.  x y2  【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 ， 时， . 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.已知函数 周期为 ，且当 ， ，则 ________. 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 到已知范围 内，代入函数解析式即 可． 【解析】： . 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7.若 ，且 ，则 的最大值为________. 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解 【解析】：法一： ，∴ ； 法 二 ： 由 ， （ ） ， 求 二 次 最 值 . 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题． 8.已知数列 前n项和为 ，且满足 ，则 ______. 【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由 得： （ ） ∴ 为等比数列，且 ， ，∴ . 9.过 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与 交于 ， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 ______. 【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得： ， ，设M坐标 有： ，代入 有： 即： . 【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中 档题． 10某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 _______. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解. 【解析】：法一： （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数 字） 法二： （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题． 11.已知数列 满足 （ ）， 在双曲线 上，则 _______. 【思路分析】利用点在曲线上得到 关于n的表达式，再求极限. 【解析】：法一：由 得： ，∴ ，，利用两点间距离公式求解极限。 法二（极限法）：当 时， 与渐近线平行， 在x轴投影为1，渐近线倾 斜角 满足： ，所以 . 【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题． 12.已知 ，若 ， 与 轴交点为 ， 为曲 线 ，在 上任意一点 ，总存在一点 （ 异于 ）使得 且 ， 则 __________. 【思路分析】 【解析】： 【归纳与总结】 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） B. B. C. D. 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意： 为直线的一个法向量，∴ 方向向量为 ，选D. 【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） B. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意： ， ，选B. 15.已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为偶 函数，则 可能的值为（ ） B. B. C. D. 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选C； 法 二 ： ， 若 为 偶 函 数 ， 则 ， 且 也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ ，当 时， ，选C. 16.已知 .①存在 在第一象限，角 在第三象限； ②存在 在第二象限，角 在第四象限； B. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令 和 ，求 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)， 选D. tantan 法二：解：tantan ……① 1tantan x y 设tan x,tan y，则原式可化为xy  ，整理得x2y2  y1 x x  0， 1 xy 以 y 为主元，则要使方程有解，需使 1 x2 4x3  4x3  x2 2x1 0有解， 令 f x 4x3  x2 2x1，则 fx 12x2 2x20恒成立 ∴函数 f x 4x3  x2 2x1在R上单调递减，又∵ f 010, f 1 40 ∴存在x 0,1 使 f x 0，当x x 时  f x0 0 0 0 设方程x2y2  y1 x x  0的两根分别为 y ,y ， 1 2 x1 1 当x  0时， y  y  0,y y   0，故必有一负根，②对； 1 2 x2 1 2 x x1 1 当0 x x 时， y  y  0,y y   0，故两根均为负根，①错；选D. 0 1 2 x2 1 2 x 三. 解答题（本大题共5题，共76分） 17.（本题满分14分）如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ， ， ， . （1）求直线 与平面 的夹角； （2）求点 到平面 的距离. 【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平 面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意： ，连接AC，则 与平面ABCD所成夹角为 ； ∵ ， ，∴ 为等腰直角△， ； ∴ 直线 与平面 的夹角为 . （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 则： ， ， ， ， ， ∴求平面 的法向量 ： ，得：A到平面 的距离为： 法二（等体积法）：利用 求解，求 时，需要求出三边长（不是 特殊三角形），利用 求解. 【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是基础题． 18.（本题满分14分）已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， 有零点，求 的范围. 【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值 与值域. 【解析】：（1）当 时， ； 代入原不等式： ；即： 移项通分： ，得： ； （2）依题意： 在 上有解 参编分离： ，即求 在 值域， 在 单调递增， ； ，故： . 【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转 化与划归思想的应用． 19.（本题满分14分）如图， 为海岸线， 为线段， 为四分之一圆弧， ， ， ， . （1）求 长度； （2）若 ，求 到海岸线 的最短距离. （精确到 ） 【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形. 【解析】：（1）依题意： ，弧BC所在圆的 半径 弧BC长度为： km （2）根据正弦定理： ，求得： ，∴ km