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2019 年上海市春季高考数学试卷
2019.01
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合 ， ，则
2. 计算：
3. 不等式 的解集为
4. 函数 的反函数为
5. 设 为虚数单位， ，则 的值为
6. 已知二元线性方程组 有无穷多解，则实数
7. 在 的二项展开式中，常数项的值为
8. 在 中， ， ，且 ，则
9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其
中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，问有多少种不同的安排种数
（结果用数值表示）
10. 如图，正方形OABC的边长为a ，函数 交
AB于点Q，函数 与BC交于点P，当
最小时， 的值为
11. 已知P为椭圆 上任意一点，Q与P关于x轴
对称， 、 为椭圆的左右焦点，若有 ，则向
量 与 的夹角范围为
12. 已知 ，集合 ， ，若存在正数 ，对任意 ，
都有 ，则 的值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列函数中，值域为 的是（ ）A. B. C. D.
14. 已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 已知平面 、 、 两两垂直，直线a、b、c满足： ， ， ，则直线
a、b、c不可能是（ ）
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
16. 平面直角坐标系中，两动圆 、 的圆心分别为 、 ，且两圆均过定点
，
两圆与y轴正半轴分别交于点 、 ，若 ，点 的轨迹为
，
则 所在的曲线可能是（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，正三棱锥 中，侧棱长为2，底面边长为 ，M、N分别是PB和BC的
中点.
（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；
（2）求三棱锥 的体积.
18. 已知数列 中， ，前n项和为 .
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比q的取值范围.19. 改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用
包
括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金
支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.
个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
卫生总费
年份 用 占卫生总费 占卫生总费 占卫生总费
绝对数 绝对数 绝对数
用比重 用比重 用比重
（亿元） （亿元） （亿元） （亿元）
（%） （%） （%）
2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算A、B的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占
比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设 表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数 ，
研究函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.
20. 已知抛物线 ，F为焦点，P为准线l上一动点，线段PF与抛物线交于点Q，
定义 .
（1）若点P坐标为 ，求 ；
（2）求证：存在常数 ，使得 恒成立；
（3）设 、 、 为准线 上的三点，且 ，试比较 与
的大小.21. 若 是等差数列，公差 ，数列 满足： ， ，
记 .
（1）设 ， ，求集合 ；
（2）设 ，试求 的值，使得集合 恰有两个元素；
（3）若集合 恰有三个元素，且 ，其中 为不超过7的正整数，求 所有可能
值.参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 或1
二. 选择题
13. B 14. C 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1） ；（2） .
18.（1） ；（2） .
19.（1） ， ，个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；
（2）单调递增， ，2028年首次超过12万亿.
20.（1） ；（2） ；（3） .
21.（1） ；（2） 或 ；（3）3、4、5、6.
