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2018 年上海市春季高考数学试卷
2018.01
一、填空题
1. 不等式 的解集为____________
2. 计算： ____________
3. 设集合 ， ，则 ____________
4. 若复数 （i是虚数单位），则 ____________
5. 已知 是等差数列，若 ，则 ____________
6. 已知平面上动点P到两个定点 和 的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为____________
7. 如图，在长方体 中，AB=3，BC=4， ，O 是 的中点，则三棱锥
的体积为____________
8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不
担任四辩，则不同的安排方法种数为____________（结果用数值表示）
9. 设 ，若 与 的二项展开式中的常数项相等，则 ____________10. 设 ，若z是关于 的方程 的一个虚根，则 的取值范围是____________
11. 设 ，函数 ， ，若函数 与 的图像有且
仅有两个不同的公共点，则 的取值范围是____________
12. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形
D C
的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，
Q
则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D
O
P
移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动
A B
12题图
到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为____________秒（精确到
0.1）
二、选择题
13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直线 异面的直线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15. 设 为数列 的前 项和，“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16. 已知A、B为平面上的两个定点，且 ，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足 ，
， ，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ）
A. 36 B. 60 C. 72 D. 108
三、解答题
17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函数 的最小值.
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知 ，双曲线 .
（1）若点 在 上，求 的焦点坐标；（2）若 ，直线 与 相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数 的值.
19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯
（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，
图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，
于C，AB=3米，OC=4.5米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥
的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01 ）.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设 ,函数 .
（1）若 ，求 的反函数 ；
（2）求函数 的最大值（用 表示）；
（3）设 .若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
若 是递增数列，数列 满足：对任意 ，存在 ，使得 ，则称 是
的“分隔数列”.（1）设 ，证明：数列 是 的分隔数列.
（2）设 ， 是 的前 项和， ，判断数列 是否是数列 的分隔数列，并
说明理由；
（3）设 ， 是 的前 项和，若数列 是 的分隔数列，求实数 的取值范围.
