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2016 年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷
2016.1
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 复数 （ 为虚数单位）的实部是 ；
2. 若 ，则 ；
3. 直线 与直线 的夹角为 ；
4. 函数 的定义域为 ；
5. 三阶行列式 中，元素 的代数余子式的值为 ；
6. 函数 的反函数的图像经过点 ，则实数 ；
7. 在△ 中，若 ， ， ，则 ；
8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）
9. 无穷等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的各项和为 ；
10. 若 （ 为虚数单位）是关于 的实系数一元二次方程 的一个虚根，
则 ；
11. 函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，则实数 的取值范围
是 ；
12. 在平面直角坐标系 中，点 、 是圆 上的两个动点，且满足
，则 的最小值为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）
13. 满足 且 的角 属于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限；
14. 半径为1的球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
15. 在 的二项展开式中， 项的系数为（ ）
A. B. C. D.
16. 幂函数 的大致图像是（ ）A. B. C. D.
17. 已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
18. 设直线 与平面 平行，直线 在平面 上，那么（ ）
A. 直线 平行于直线 B. 直线 与直线 异面
C. 直线 与直线 没有公共点 D. 直线 与直线 不垂直
19. 用数学归纳法证明等式 的第（ii）步中，假设
时原等式成立，那么在 时，需要证明的等式为（ ）
A.
B.
C.
D.
20. 关于双曲线 与 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同
C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同
21. 设函数 的定义域为 ，则“ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22. 下列关于实数 、 的不等式中，不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
23. 设单位向量 与 既不平行也不垂直，对非零向量 ， ，
有结论：① 若 ，则 ∥ ；② 若 ，则 ；关于以上两
个结论，正确的判断是（ ）
A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②成立 D. ①不成立，②不成立
24. 对于椭圆 ，若点 满足 ，则称该点在椭圆 内，在平面直角坐标系中，若点 在过点 的任意椭圆 内或椭圆
上，则满足条件的点 构成的图形为（ ）
A. 三角形及其内部 B. 矩形及其内部
C. 圆及其内部 D. 椭圆及其内部
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）
25. 如图，已知正三棱柱 的体积为 ，底面边长为3，求异面直线 与
所成的角的大小；
26. 已知函数 ，求 的最小正周期及最大值，并指出 取得
最大值时 的值；
27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的
轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点 处，已知灯口直径是 ，灯深 ，求灯泡与反射
镜的顶点 的距离；
28. 已知数列 是公差为 的等差数列；
（1）若 、 、 成等比数列，求 的值；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， ，记，求数列 的最小值 ；（即 对任意 成立）
29. 对于函数 与 ，记集合 ；
（1）设 ， ，求 ；
（2）设 ， ， ，如果 ，求实
数 的取值范围；附加题
一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）
1. 若函数 是偶函数，则 的一个值是（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面上，满足 的复数 所对应的点的轨迹是（ ）
A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆
3. 已知函数 的图像是折线段 ，如图，其中 、 、 、
、 ，若直线 与 的图像恰有4个不同的公共点，
则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）
4. 椭圆 的长半轴的长为 ；
5. 已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，则该圆锥的侧面积为 ；
6. 小明用数列 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第 天
下过雨时，记 ，当第 天没下过雨时，记 ；他用数列 记录该
地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记 ，当预报第 天
没有雨时，记 ；记录完毕后，小明计算出
，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）
7. 对于数列 与 ，若对数列 的每一项 ，均有 或 ，则称数列
是 与 的一个“并数列”；
（1）设数列 与 的前三项分别为 ， ， ， ， ， ，
若数列 是 与 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组 ；
（2）已知数列 、 均为等差数列， 的公差为1，首项为正整数 ， 的前
10项和为 ，前20项和为 ，若存在唯一的数列 ，使得 是 与 的
一个“并数列”，求 的值所构成的集合；
