文档内容
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设 ，则不等式 的解集为_______.
2．设 ，其中 为虚数单位，则z的虚部等于______________________.
3．已知平行直线 ，则 的距离是_______________.
[来
4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组
数据的中位数是_________（米）.
5．若函数 的最大值为5，则常数 ______.
6．已知点 在函数 的图像上，则 .
7．若 满足 则 的最大值为_______.
8．方程 在区间 上的解为___________.
[来
9．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________.
10．已知△ 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
ABC11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种
水果相同的概率为______.
[
12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线 上一个动点，则 的取
值范围是 .
13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组 无解，则 的取值范围是 .
14．无穷数列{a}由k个不同的数组成，S 为{a}的前n项和.若对任意 ， ，
n n n
则k的最大值为 .
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16．如图，在正方体ABCD−ABC D 中，E、F分别为BC、BB 的中点，则下列直线中与
1 1 1 1 1
直线EF相交的是（ ）.
(A)直线AA (B)直线AB
1 1 1
(C)直线AD (D)直线BC
1 1 1 1
17．设 ， .若对任意实数x都有 ，则满足条件的有序
实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)418．设 、 、 是定义域为 的三个函数．对于命题：①若 、
、 均是增函数，则 、 、 均是增函数；②若
、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、
均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕OO 旋转一周形成圆柱，如图， 长为
1 1 1
， 长为 ，其中B 与C在平面AAOO的同侧.
1 1 1
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线OB 与OC所成的角的大小.
1 1
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 点或河边运
走.于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到
点较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面
直角坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 .
设 是 上纵坐标为1的点，请计算以 为一边、另一边过点 的矩形的面积，及五
边形 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的“经验值”.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线 的左、右焦点分别为F 、F ，直线l过F 且与双曲线交于A、
1 2 2
B两点.
（1）若l的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分.
对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，若
同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }
与{ }是无穷互补数列.
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理
由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }的
通项公式.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分.
已知 R，函数 = .
（1）当 时，解不等式 >1；
（2）若关于 的方程 + =0的解集中恰有一个元素，求 的值；
（3）设 >0，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的
差不超过1，求 的取值范围.考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的
条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设 ，则不等式 的解集为_______.
【答案】
【解析】试题分析： ，故不等式 的解集为
.
考点：绝对值不等式的基本解法.
2．设 ，其中 为虚数单位，则z的虚部等于______________________.
【答案】 3
【解析】
试题分析：
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
3．已知平行直线 ，则 的距离是_______________.
【答案】
【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得 .
考点：两平行线间距离公式.
4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这
组数据的中位数是_________（米）.
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位
数是1.76.
考点：中位数的概念.
5．若函数 的最大值为5，则常数 ______.
【答案】
【解析】试题分析： ，其中 ，故函数 的最大值
为 ，由已知得， ，解得 .
考点：三角函数 的图象和性质.
6．已知点 在函数 的图像上，则 .
【答案】
考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.
7．若 满足 则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令 ，当直线
经过点 时， 取得最大值 .y
P
O x
考点：线性规划及其图解法.
8．方程 在区间 上的解为___________.
【答案】
【解析】试题分析：
化简 得： ，所以 ，解得
或 （舍去），又 ，所以 .
考点：二倍角公式及三角函数求值.
9．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________.
【答案】112
【解析】试题分析：
由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为 ，即 ，所以 ，又二项展开
式的通项为 ，令 ，所以 ，所以
，即常数项为112.
考点：二项式定理.
10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
【答案】【解析】试题分析：
利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 ，所以此角的正弦值
为 ，由正弦定理得 ,所以 .
考点：正弦、余弦定理.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种
水果相同的概率为______.
【答案】
【解析】试题分析：
将4种水果每两种分为一组，有 种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相
同的概率为 .
考点：古典概型
12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线 上一个动点，则 的
取值范围是 .
【答案】
【解析】试题分析：由题意，设 , [0,π]，则 ，又
, 所以 .
BA(1,1)
考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.
13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组 无解，则 的取值范围是 .【答案】
【解析】试题分析：方程组无解等价于直线 与直线 平行，所以
且 .又 ， 为正数，所以 （ ），即 的取值范围
是 .
[
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.
14．无穷数列{a}由k个不同的数组成，S为{a}的前n项和.若对任意 ， ，
n n n
则k的最大值为 .
【答案】4
考点：数列的项与和.
三、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）.
（B）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：
，所以“ ”是“ ”的充分非必要条件，选
A.
考点：充要条件
16．如图，在正方体ABCD−ABCD中，E、F分别为BC、BB的中点，则下列直线中与直线
1 1 1 1 1
EF相交的是（ ）.(A)直线AA (B)直线AB
1 1 1
(C)直线AD (D)直线BC
1 1 1 1
【答案】D
【解析】试题分析：
只有 与 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与 都是异面直线，
故选D．
考点：异面直线
17．设 ， .若对任意实数x都有 ，则满足条件的有序
实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【答案】B
【解析】试题分析： ， ，
又 ， ，
注意到 ，只有这两组．故选B．
考点：三角函数
18．设 、 、 是定义域为 的三个函数．对于命题：①若 、
、 均是增函数，则 、 、 均是增函数；②若
、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、
均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，
1 1 1
长为 ，其中B与C在平面AAOO的同侧.
1 1 1
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线OB与OC所成的角的大小.
1 1
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ．由此计算即得.
（2）由 得 或其补角为 与 所成的角，再结合题设条件计算即得．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长 ，底面半径 ．圆柱的体积 ，
圆柱的侧面积 ．
（2）设过点B的母线与下底面交于点B，则 ，
1
所以 或其补角为 与 所成的角．
由 长为 ，可知 ，
由 长为 ，可知 ， ，
所以异面直线 与 所成的角的大小为 ．
考点：1.几何体的体积；2.空间角.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 点或河边运
走.于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到
点较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面
直角坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0），如图.
（3）求菜地内的分界线 的方程；
（4）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 .
设 是 上纵坐标为1的点，请计算以 为一边、另一边过点 的矩形的面积，及五边形 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的“经验值”.
【答案】（1） （ ）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为 ，五边形
面积更接近于 面积的“经验值”．
【解析】
所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 ．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 面积的“经验值”．
考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线 的左、右焦点分别为F、F，直线l过F且与双曲线交于A、B
1 2 2
两点.
（1）若l的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）设 ，根据题设条件可以得到 ，从而解得 的
值．
（2）设 ， ，直线 与双曲线方程联立，得到一元二次
方程，根据 与双曲线交于两点，可得 ，且 ．由|AB|=4构建
关于 的方程进行求解．
试题解析：（1）设 ．
由题意， ， ， ，
因为 是等边三角形，所以 ，
即 ，解得 ．
故双曲线的渐近线方程为 ．
（2）由已知， ．
设 ， ，直线 ．
由 ，得 ．
因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 ．
由 ， ，得 ，
故 ，解得 ，故 的斜率为 ．
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分.
对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，
若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }与
{ }是无穷互补数列.
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理
由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；
（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }的
通项公式.
【答案】（1） 与 不是无穷互补数列，理由见解析；（2） ；（3）
， ．
【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等
差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{ }的通项公式，再求{ }
的通项公式.
试题解析：（1）因为 ， ，所以 ，
从而 与 不是无穷互补数列．
（2）因为 ，所以 ．考点：等差数列、等比数列、新定义问题
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分.
已知 R，函数 = .
（1）当 时，解不等式 >1；
（2）若关于 的方程 + =0的解集中恰有一个元素，求 的值；
（3）设 >0，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的
差不超过1，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）由 ，得 ，从而得解．
（2）转化得到 ，讨论当 、 时的情况即可．
（3）讨论 在 上的单调性，再确定函数 在区间 上的最大值与最小值之差，由此得到 ，对任意 成立．
试题解析： （1）由 ，得 ，解得 ．
（2） 有且仅有一解，
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ， 对 任 意
成立．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，
所以 时， 有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范围为 ．
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
