文档内容
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设x ,则不等式 的解集为_____________．
2．设 ，其中 为虚数单位，则 =_____________．
3．已知平行直线 ，则l 与l 的距离是_____________．
1 2
4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
则这组数据的中位数是_________（米）．
5．已知点 在函数 的图像上，则 ．
6．如图，在正四棱柱 中，底面 的边长为3， 与底面所成的
角的大小为 ，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程 在区间 上的解为___________ .
8．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________．
9．已知 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
10．设 若关于 的方程组 ，无解，则 的取值范围是
____________．
11．无穷数列 由k个不同的数组成， 为 的前n项和.若对任意 ，
，则k的最大值为________.
12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线 上一个动点，
则 的取值范围是_____________.
13.设 .若对任意实数 都有 ，则满足条件
的有序实数组 的组数为 .
14.如图，在平面直角坐标系 中，O为正八边形 的中心， .任取不同
的两点 ，点P满足 ，则点P落在第一象限的概率是
_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.
15.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
17.已知无穷等比数列 的公比为 ，前n项和为 ，且 .下列条件中，使得
恒成立的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
18．设 、 、 是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 、
、 均是增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；②
若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、
均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长
为1的正方形 （及其内部）绕的 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，
长为 ，其中 与 在平面 的同侧.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 点或河边运走.
于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到 点
较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面直角
坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0），如图.
[
（1）求菜地内的分界线 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 .
设 是 上纵坐标为1的点，请计算以 为一边、另有一边过点 的矩形的面积，及
五边形 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的经验值.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于
两点.
（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求
的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不
超过1，求 的取值范围.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.
若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性
质 .（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ，
， ，判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有
性质 ”的充要条件为“ 是常数列”.考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核
对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设x ,则不等式 的解集为_____________．
【答案】（2,4）
【解析】试题分析：
由题意得： ，解得 .
考点：绝对值不等式的基本解法.
2．设 ，其中 为虚数单位，则 =_____________．
【答案】-3
【解析】
试题分析：
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
3．已知平行直线 ，则l 与l 的距离是_____________．
1 2
【答案】
【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得 .
考点：两平行线间距离公式.
4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
则这组数据的中位数是_________（米）．
【答案】1.76
考点：中位数的概念.
5．已知点 在函数 的图像上，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：
将点（3，9）代入函数 中得 ，所以 ，用 表示 得
，所以 .
考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.
6．如图，在正四棱柱 中，底面 的边长为3， 与底面所成的
角的大小为 ，则该正四棱柱的高等于____________．
【答案】【解析】试题分析：
连结BD，则由题意得 .
考点：线面角
7．方程 在区间 上的解为___________ .
【答案】
【解析】试题分析：
化简 得： ，所以 ，解得
或 （舍去），又 ，所以 .
考点：二倍角公式及三角函数求值.
8．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________．
【答案】112
【解析】试题分析：
由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为 ，即 ，所以 ，又二项展开
式的通项为 ，令 ，所以 ，所以
，即常数项为112.
考点：二项式定理.
9．已知 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
【答案】
【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 ，所以此角的正弦值
为 ，由正弦定理得 ,所以 .
考点：正弦、余弦定理.
10．设 若关于 的方程组 ，无解，则 的取值范围是
____________．
【答案】
【解析】试题分析：
将方程组中上面的式子化简得 ，代入下面的式子整理得 ，方程
组无解应该满足 且 ，所以 且 ，所以由基本不等式得
，即 的取值范围是 .
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.
11．无穷数列 由k个不同的数组成， 为 的前n项和.若对任意 ，
，则k的最大值为________.
【答案】4
考点：数列的项与和.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线 上一个动点，
则 的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】试题分析：
[0,π] BA(1,1)
由题意设 , ，则 ，又 ，所以
.
考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.
13.设 .若对任意实数 都有 ，则满足条件
的有序实数组 的组数为 .
【答案】4
【解析】试题分析：
当 时， ， ，又
， ，注意到 ，
所以只有2组： , 满足题意；当 时，同理可得出满足题意的
也有2组，故共有4组.
考点：三角函数
14.如图，在平面直角坐标系 中，O为正八边形 的中心， .任取不同
的两点 ，点P满足 ，则点P落在第一象限的概率是_____________.
【答案】
【解析】试题分析：
共有 种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有 种，故所求概率为
.
考点：古典概型
三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.
15.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）.
（B）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：
，所以“ ”是“ ”的充分非必要条件，选
A.
考点：充要条件
17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.
（B） （B）（C） （D）
【答案】D
【解析】试题分析：
依次取 ，结合图形可知只有 满足，选D.
考点：极坐标方程
18.已知无穷等比数列 的公比为 ，前n项和为 ，且 .下列条件中，使得
恒成立的是（ ）.
（B） （B）
（C） （D）
【答案】B
考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.
18．设 、 、 是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 、
、 均是增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；②
若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、
均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题
m]
【答案】D
【解析】
试题分析：
因为 ，所以,又 、
、 均是以 为周期的函数，所以
，所以 是周期为 的函数，
同理可得 、 均是以 为周期的函数，②正确； 、 、 中至少有一
个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当
三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以
①不正确.选D.
考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.
将边长为1的正方形 （及其内部）绕的 旋转一周形成圆柱，如图， 长为
， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ， ，再由三角形面积公式计算 后即得.
（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，根据 ，知 或其补角为直线
与 所成的角，再结合题设条件确定 ， ．得出 即
可．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ．
由 的长为 ，可知 ．
，
．
从而直线 与 所成的角的大小为 ．考点：1.几何体的体积；2.空间角.
[来
20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 点或河边运走.
于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到 点
较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面直角
坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0），如图.
（3）求菜地内的分界线 的方程;
（4）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 .
设 是 上纵坐标为1的点，请计算以 为一边、另有一边过点 的矩形的面积，及
五边形 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的经验值.
【答案】（1） （ ）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为 ，五边形
面积更接近于 面积的“经验值”．
【解析】
试题分析：（1）由 上的点到直线 与到点 的距离相等，知 是以 为焦点、以
为准线的抛物线在正方形 内的部分．
（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五
边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．
试题解析：（1）因为 上的点到直线 与到点 的距离相等，所以 是以 为焦点、以
为准线的抛物线在正方形 内的部分，其方程为 （ ）．
（2）依题意，点 的坐标为 ．
所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 ．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 面积的“经验值”．
考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于
两点.
（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）设 ，根据题设条件得到 ，从而解得 的值．
（2）设 ， ，直线 与双曲线方程联立，得到一元二次
方程，根据 与双曲线交于两点，可得 ，且 ．再设 的中点为 ，由 即 ，从而得到 ，进而
构建关于 的方程求解即可．
试题解析：（1）设 ．
由 ，得 ．
因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 ．
设 的中点为 ．
由 即 ，知 ，故 ．
而 ， ， ，
所以 ，得 ，故 的斜率为 ．
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求
的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不
超过1，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）由 ，得 ，从而得解．
（2）将其转化为 ，讨论当 、 时，以及 且
时的情况即可．
（3）讨论 在 上的单调性，再确定函数 在区间 上的最大值与最
小值之差，从而得到 ，对任意 成立．
试题解析：（1）由 ，得 ，
解得 ．
（2） ， ，
当 时， ，经检验，满足题意．当 时， ，经检验，满足题意．
当 且 时， ， ， ．
是原方程的解当且仅当 ，即 ；
是原方程的解当且仅当 ，即 ．
于是满足题意的 ．
综上， 的取值范围为 ．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时，
有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范围为 ．
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性
质 .
[
（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ，
， ，判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有
性质 ”的充要条件为“ 是常数列”.
【答案】（1） ；（2） 不具有性质 ，理由见解析；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到 ，结合 求
解即可．
（2）根据 的公差为 ， 的公比为 ，写出通项公式，从而可得
．
通过计算 ， ， ， ，即知 不具有性质 ．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为 ，所以 ， ， ．
于是 ，又因为 ，解得 ．
（2） 的公差为 ， 的公比为 ，所以 ， ．
．
，但 ， ， ，
所以 不具有性质 ．
[证]（3）充分性：
当 为常数列时， ．
对任意给定的 ，只要 ，则由 ，必有 ．
充分性得证．
[
必要性：
用反证法证明．假设 不是常数列，则存在 ，
使得 ，而 ．
下面证明存在满足 的 ，使得 ，但 ．
设 ，取 ，使得 ，则
， ，故存在 使得 ．
考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.
