文档内容
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设x ,则不等式 的解集为_____________．
2．设 ，其中 为虚数单位，则 =_____________．
3．已知平行直线 ，则l 与l 的距离是_____________．
1 2
4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
则这组数据的中位数是_________（米）．
5．已知点 在函数 的图像上，则 ．
6．如图，在正四棱柱 中，底面 的边长为3， 与底面所成的
角的大小为 ，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程 在区间 上的解为___________ .
8．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
_________．
9．已知 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
10．设 若关于 的方程组 ，无解，则 的取值范围是
____________．
11．无穷数列 由k个不同的数组成， 为 的前n项和.若对任意 ，
，则k的最大值为________.
12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线 上一个动点，
则 的取值范围是_____________.
13.设 .若对任意实数 都有 ，则满足条件
的有序实数组 的组数为 .
14.如图，在平面直角坐标系 中，O为正八边形 的中心， .任取不同
的两点 ，点P满足 ，则点P落在第一象限的概率是
_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.
15.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
17.已知无穷等比数列 的公比为 ，前n项和为 ，且 .下列条件中，使得
恒成立的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
18．设 、 、 是定义域为R的三个函数，对于命题：①若 、
、 均是增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；②
若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、
均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长
为1的正方形 （及其内部）绕的 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，
长为 ，其中 与 在平面 的同侧.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 点或河边运走.
于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到 点
较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面直角
坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0），如图.
[
（1）求菜地内的分界线 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 .设
是 上纵坐标为1的点，请计算以 为一边、另有一边过点 的矩形的面积，及五
边形 的面积，并判断哪一个更接近于 面积的经验值.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于
两点.
（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求
的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不
超过1，求 的取值范围.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.
若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性
质 .（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ，
， ，判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有性
质 ”的充要条件为“ 是常数列”.
