文档内容
绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直
接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数 =__________________ .
2．已知集合 ， ，且 ，则实数 a 的取值范围是
______________________ .
3．若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ .
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱 的底面连长为 2，高
为4，则异面直线 与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
6．函数 的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 ____________（结果用最简分数表
示）.
8.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满
足的等量关系是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
9.已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且
.若 的面积为9，则 =____________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
10.在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成图形
的面积是________.
11. 当 ， 不 等 式 成 立 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是
_______________.
12．已知函数 .项数为27的等差数列 满足 ，且
公差 .若 ，则当 =____________是， .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 ， ，
， ， ， 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）
__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
14.将函数 的图像绕坐标原点逆时针方
向旋转角 ，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是
一个函数的图像，则 的最大值为__________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15. 是“实系数一元二次方程 有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
（A） （B） （C） （D）
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、
丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18.过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B， 被
圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ,
,求二面角 的大小。
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（ ），
表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
[来
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 , ,
。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线 设过点 的直线l的方向向量
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当 > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 。
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分。已知函数 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数
与 互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与
互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（1）判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表
达式。
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分。
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。
（1）若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（2）找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3）若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续项的和是数列 中的一项，请证明。
