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2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在
答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作
答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算： = （i为虚数单位）.
2．若集合 ， ，则 = .
3．函数 的最小正周期是 .
4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果
用反三角函数值表示）.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 .
6．方程 的解是 .
7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为
V,V,…,V,…，则 .
1 2 n
8．在 的二项展开式中，常数项等于 .
9．已知 是奇函数. 若 且 .，则
.
10．满足约束条件 的目标函数 的最小值是 .
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点，且满足 ，则 的取值范围是 .
13．已知函数 的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B( ,1)，C(1,0).
l
O M x函数 的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14．已知 .各项均为正数的数列 满足 ， .若
，则 的值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若 是关于 x 的实系数方程 的一个复数根，则
（ ）
（A） . （B） . （C） .（D）
.
16．对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的
（ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.
17．在 中，若 ，则 的形状是 （ ）
（A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定.
18．若 ，则在 中，
正数的个数是 （ ）
（A）16. （B）72. （C）86. （ D ）
100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是
P
PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，
PA=2.求： D
A
（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6分） B C
20．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（6分）
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求
函数 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y
轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方
向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定
位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐
标为 .
y
（1）当 时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 P
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
O x
A
22．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 ，求过M点的坐标；
（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的
平行四边形的面积；（5分）
（3）设斜率为 的直线l交C于P、Q两点，若l与圆 相
切，求证：OP⊥OQ；（6分）23．对于项数为 m 的有穷数列数集 ，记
（k=1,2,…,m），即 为 中的最大值，并称数列 是 的控制
数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ；
（4分）
（2）设 是 的控制数列，满足 （C 为常数，
k=1,2,…,m）.
求证： （k=1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数 .若 ， 是 的
控制数列，求 .2012年上海高考数学（文科）试卷解答
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算： = 1 - 2i （i为虚数单位）.
2．若集合 ， ，则 = .
3．函数 的最小正周期是 .
4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果
用反三角
函数值表示）.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 6 .
6．方程 的解是 .
7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为
V,V,…,V,…，则 .
1 2 n
8．在 的二项展开式中，常数项等于 - 2 0 .
9．已知 是奇函数. 若 且 .，则 3
.
10．满足约束条件 的目标函数 的最小值是 - 2 .
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点，且满足 ，则 的取值范围是 [1, 4 ] .
13．已知函数 的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B( ,1)，C(1,0).
函数 的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14．已知 .各项均为正数的数列 满足 ， .若
，则 的值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则 （ D
）（A） . （B） . （C） .（D）
.
16．对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ B
）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.
17．在 中，若 ，则 的形状是 （ A ）
（A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （ D ）
不能确定.
18．若 ，则在 中，
正数的
个数是 （ C ）
（A）16. （B）72. （C）86. （ D ）
100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是
P
PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，
PA=2.求： D
A
（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6分） B C
[解]（1） ， 2分
三棱锥P-ABC的体积为
. 6分 P
（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则
E D
ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线
A
BC与AD所成的角. 8分
在三角形ADE中，DE=2，AE= ，AD=2，
B C
，所以∠ADE= .
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是 . 12分
20．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（6分）
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求
函数的反函数.（8分）
[解]（1）由 ，得 .
由 得 .
……3分
因为 ，所以 ， .
由 得 . ……6分
（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
.
……10分
由单调性可得 .
因为 ，所以所求反函数是 ， .
……14分
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y
轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向
12海 y
P
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
O x
援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为 .
（1）当 时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
A
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
[解]（1） 时，P的横坐标x = ，代入抛物线方程
P
中，得P的纵坐标y =3. ……2分
P
由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时. ……4分
由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向
为北偏东arctan 弧度. ……6分
（2）设救援船的时速为 海里，经过 小时追上失事船，此时位置为 .
由 ，整理得 .……10
分
因为 ，当且仅当 =1时等号成立，
所以 ，即 .
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
22．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 ，求过M点的坐标；
（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；（5分）
（3）设斜率为 的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆 相
切，
求证：OP⊥OQ；（6分）
[解]（1）双曲线 ，左焦点 .
设 ，则 ， ……2
分
由 M是右支上一点，知 ，所以 ，得
.
所以 . ……5分
（2）左顶点 ，渐近线方程： .
过 A 与渐近线 平行的直线方程为： ，即
.
解方程组 ，得 . ……8分
所求平行四边形的面积为 . ……10分
（3）设直线PQ的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ，
即 (*).
由 ，得 .
设P(x, y)、Q(x, y)，则 .
1 1 2 2
，所以
.
由(*)知 ，所以OP⊥OQ. ……16分
23．对于项数为 m 的有穷数列数集 ，记（k=1,2,…,m），即
为 中的最大值，并称数列 是 的控制数列.如1,3,2,5,5的控
制数列是
1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ；
（4分）
（2）设 是 的控制数列，满足 （C 为常数，
k=1,2,…,m）.
求证： （k=1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数 .若 ， 是 的
控制数列，
求 .
[解]（1）数列 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；
2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4
分
（2）因为 ， ，
所以 . ……6分
因为 ， ，
所以 ，即 . ……
8分
因此， . ……10分
（ 3 ） 对 ， ；
；
； .比较大小，可得 . ……12分
因 为 ， 所 以 ， 即
；
，即
.
又 ，
从而 ， ， ， .
……15分
因此
=
=
= = = .
……18分
