文档内容
绝密★启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定
位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得
分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（56分）：
1．计算： （ 为虚数单位）。
2．若集合 ， ，则 。
3．函数 的值域是 。
4．若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）。
5．在 的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为
，则 。
[
7．已知函数 （ 为常数）。若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是
。
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 。
9．已知 是奇函数，且 ，若 ，则 。
10．如图，在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹角 ，
若将 的极坐标方程写成 的形式，则 。
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选
择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
12．在平行四边形 中， ，边 、 的长分别为2、1，若 、 分别是边 、
上的点，且满足 ，则 的取值范围是 。
13．已知函数 的图象是折线段 ，其中 、 、 ，
函数 （ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 。
14．如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱， ，若 ，
且 ，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最
大值是 。
[来
二、选择题（20分）：15．若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
16．在 中，若 ，则 的形状是（ ）
[来
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
17．设 ， ，随机变量 取值 的概率均
为 ，随机变量 取值 的概率也均为 ，
若记 分别为 的方差，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系与 的取值有关
18．设 ， ，在 中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
三、解答题（74分）：
19．（6+6=12分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，
[来
底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：
（1）三角形 的面积；
（2）异面直线 与 所成的角的大小。
20．（6+8=14分）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函数 （
）的反函数。
21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向
为 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海
里 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定位后救援船即刻沿
直线匀速前往救援；③救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为 ．
（1）当 时，写出失事船所在位置 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ．（1）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形
的面积；
（2）设斜率为1的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；
（3）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直
线 的距离是定值。
23．（4+6+8=18分）对于数集 ，其中 ， ，
定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，
则称 具有性质 ．例如 具有性质 ．
（1）若 ，且 具有性质 ，求 的值；
（2）若 具有性质 ，求证： ，且当 时， ；
（3）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 的通项公
式。
