文档内容
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在
答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作
答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算： = （i为虚数单位）.
2．若集合 ， ，则 = .
3．函数 的最小正周期是 .
4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三
角函数值表示）.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 .
6．方程 的解是 .
7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为
V,V,…,V,…，则 .
1 2 n
8．在 的二项展开式中，常数项等于 .
9．已知 是奇函数. 若 且 .，则 .
10．满足约束条件 的目标函数 的最小值是 .
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点，且满足 ，则 的取值范围是 .
13．已知函数 的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B( ,1)，C(1,0).
函数 的图像与x轴围成的图形的面积为 .
l
O M x14．已知 .各项均为正数的数列 满足 ， .若
，则 的值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则 （ ）
（A） . （B） . （C） .（D）
.
16．对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的 （ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.
17．在 中，若 ，则 的形状是 （ ）
（A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定.
18．若 ，则在 中，
正数的个数是 （ ）
（A）16. （B）72. （C）86. （ D ）
100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是
P
PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，
PA=2.求： D
A
（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6分） B C
20．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（6分）
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函
数 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y
轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方
向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定位
后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标
为 .
y
（1）当 时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 P
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
O x
A
22．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 ，求过M点的坐标；
（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的
平行四边形的面积；（5分）
（3）设斜率为 的直线l交C于P、Q两点，若l与圆 相切，
求证：OP⊥OQ；（6分）23．对于项数为 m 的有穷数列数集 ，记
（k=1,2,…,m），即 为 中的最大值，并称数列 是 的控制
数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ；
（4分）
（2）设 是 的控制数列，满足 （C 为常数，
k=1,2,…,m）.
求证： （k=1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数 .若 ， 是 的控
制数列，求 .2012年上海高考数学（文科）试卷解答
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算： = 1 - 2i （i为虚数单位）.
2．若集合 ， ，则 = .
3．函数 的最小正周期是 .
4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果
用反三角
函数值表示）.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 6 .
6．方程 的解是 .
7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为
V,V,…,V,…，则 .
1 2 n
8．在 的二项展开式中，常数项等于 - 20 .
9．已知 是奇函数. 若 且 .，则 3 .
10．满足约束条件 的目标函数 的最小值是 - 2 .
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点，且满足 ，则 的取值范围是 [1, 4] .
13．已知函数 的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B( ,1)，C(1,0).
函数 的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14．已知 .各项均为正数的数列 满足 ， .若
，则 的值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则 （
D ）
（A） . （B） . （C） .（D）.
16．对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的 （
B ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.
17．在 中，若 ，则 的形状是 （ A ）
（A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （ D ）
不能确定.
18．若 ，则在 中，
正数的
个数是 （ C ）
（A）16. （B）72. （C）86. （ D ）
100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是
P
PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，
PA=2.求： D
A
（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6分） B C
[解]（1） ， 2分
三棱锥P-ABC的体积为
. 6分 P
（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则
E D
ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线
A
BC与AD所成的角. 8分
在三角形ADE中，DE=2，AE= ，AD=2，
B C
，所以∠ADE= .
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是 . 12分
20．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（6分）
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函
数
的反函数.（8分）[解]（1）由 ，得 .
由 得 . ……3分
因为 ，所以 ， .
由 得 . ……6分
（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
.
……10分
由单调性可得 .
因为 ，所以所求反函数是 ， .
……14分
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y
轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向
12海 y
P
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
O x
援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为 .
（1）当 时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
A
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
[解]（1） 时，P的横坐标x = ，代入抛物线方程
P
中，得P的纵坐标y =3. ……2分
P
由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时. ……4分
由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向
为北偏东arctan 弧度. ……6分
（2）设救援船的时速为 海里，经过 小时追上失事船，此时位置为 .
由 ，整理得 .……10分
因为 ，当且仅当 =1时等号成立，
所以 ，即 .
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
22．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 ，求过M点的坐标；
（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的
平行四边形的
面积；（5分）（3）设斜率为 的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆 相切，
求证：OP⊥OQ；（6分）
[解]（1）双曲线 ，左焦点 .
设 ，则 ， ……2分
由M是右支上一点，知 ，所以 ，得 .
所以 . ……5分
（2）左顶点 ，渐近线方程： .
过A与渐近线 平行的直线方程为： ，即 .
解方程组 ，得 . ……8分
所求平行四边形的面积为 . ……10分
（3）设直线PQ的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ，
即 (*).
由 ，得 .
设P(x, y)、Q(x, y)，则 .
1 1 2 2
，所以
.
由(*)知 ，所以OP⊥OQ. ……16分
23．对于项数为 m 的有穷数列数集 ，记
（k=1,2,…,m），即
为 中的最大值，并称数列 是 的控制数列.如1,3,2,5,5的控
制数列是
1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ；
（4分）
（2）设 是 的控制数列，满足 （C 为常数，
k=1,2,…,m）.
求证： （k=1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数 .若 ， 是 的控
制数列，
求 .
[解]（1）数列 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；
2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分
（2）因为 ， ，
所以 . ……6分
因为 ， ，
所以 ，即 . ……8分
因此， . ……10分
（ 3 ） 对 ， ；
；
； .
比较大小，可得 . ……12分
因 为 ， 所 以 ， 即
；
，即 .又 ，
从而 ， ， ， .
……15分
因此
=
=
= = = . ……18分2012上海高考数学试题（文科）答案与解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算： = （i为虚数单位）.
【答案】 1-2i
【解析】 = =1-2i
【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净
分母实数化即可。
2．若集合 ， ，则 = .
【答案】
【解析】由集合 A 可得：x> ，由集合 B 可得：-1<经<1，所以， =
【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等
的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数 的最小正周期是 .
【答案】
【解析】根据韪得：
【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明
确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.
4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三
角函数值表示）.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为 ，则 .
【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.
5.一个高为2的圆柱，底面周长为 ，该圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 ，所以该圆柱的表面积为：
.
【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，
不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档
题.
6.方程 的解是 .
【答案】
【 解 析 】 根 据 方 程 ， 化 简 得 ， 令
，
则 原 方 程 可 化 为 ， 解 得 或 ， 即
.所以原方程的解为 .
【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求
解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的
错误.本题属于中低档题目，难度适中.
7.有一列正方体，棱长组成以 1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为
，则 .
【答案】
【解析】由正方体的棱长组成以 为首项， 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成 了 一 个 以 1 为 首 项 ， 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此 ，
.
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定
义.考查知识较综合.
8.在 的二项式展开式中，常数项等于 .
【答案】
【 解 析 】 根 据 所 给 二 项 式 的 构 成 ， 构 成 的 常 数 项 只 有 一 项 ， 就 是
.
【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构
成.属于中档题.
9.已知 是奇函数，若 且 ，则 .
【答案】
【 解 析 】 因 为 函 数 为 奇 函 数 ， 所 以 有 ， 即
.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 为奇
函数，所以有 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属
于中档题，难度适中.
10.满足约束条件 的目标函数 的最小值是 .
【答案】
【解析】 根据题意得到 或 或 或其可行域为平行四边形 区域，（包括边界）目标函数可以化成 ， 的
最小值就是该直线在 轴上截距的最小值，当该直线过点 时， 有最小值，此
时 .
6
4
2
B
y=x+z
10 5 C A 5 10
D
2
4
6
【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直
线过点 时， 有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档
题，难度适中.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有
两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所
以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总
数.本题属于中档题.
12.在矩形 中，边 、 的长分别为2、1，若 、 分别是边 、
上的点，且满足 ，则 的取值范围是
【答案】
【解析】以向量AB所在直线为 轴，以向量AD所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，因为 ，所以 设
， 根 据 题 意 ， ， 所 以
所以 ，所以 ， 即 .6
4
2
D N C
M
10 5 A B 5 10
2
4
6
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题
时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
13.已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、 ，
函数 （ ）的图像与 轴围成的图形的面积为 .
【答案】
【解析】根据题意，得到 ，
从 而 得 到 所 以 围 成 的 面 积 为
，所以围成的图形的面积为 .
【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平
面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解
决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知 ，各项均为正数的数列 满足 ， ，若
，则 的值是 .
【答案】
【解析】据题 ，并且 ，得到 ， ，
， ，得到 ，解得 （负值舍
去）.依次往前推得到
.
【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件
是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15.若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】 D
【解析】根据实系数方程的根的特点知 也是该方程的另一个根，所以
，即 ， ，故答案
选择D.
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.
属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.
16.对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】方程 的曲线表示椭圆，常数常数 的取值为 所
以，由 得不到程 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根
据该曲线表示椭圆，能推出 ，因而必要.所以答案选择B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据
方程的组成特征，可以知道常数 的取值情况.属于中档题.
17.在△ 中，若 ，则△ 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【答案】 A
【 解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得
代入得到 ，
由余弦定理的推理得 ，所以C为钝角，所以该三角形为钝
角三角形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构
来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择
余弦定理.本题属于中档题.
18.若 （ ），则在 中，
正数的个数是（ ）
A．16 B.72 C.86 D.100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规
律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 P
PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，
D
PA=2.求：
A
（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三
B C
角函数值表示）.（6分）
[解]（1） ， 2分
三棱锥P-ABC的体积为
. 6分 P
（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则
E D
ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线
A
BC与AD所成的角. 8分
在三角形ADE中，DE=2，AE= ，AD=2，
B C
，所以∠ADE= .
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是 . 12分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理
论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积
公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找
错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
20．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（6分）
（2）若 是以2为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函
数
的反函数.（8分）
[解]（1）由 ，得 .
由 得 . ……3分
因为 ，所以 ， .
由 得 . ……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
.
……10分
由单调性可得 .
因为 ，所以所求反函数是 ， .
……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数
函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y
轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向
12海 y
P
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
O x
援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为 .
（1）当 时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
A
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
[解]（1） 时，P的横坐标x = ，代入抛物线方程
P
中，得P的纵坐标y =3. ……2分
P
由|AP|= ，得救援船速度的大小为 海里/时. ……4分
由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向
为北偏东arctan 弧度. ……6分
（2）设救援船的时速为 海里，经过 小时追上失事船，此时位置为 .
由 ，整理得 .……10分
因为 ，当且仅当 =1时等号成立，
所以 ，即 .
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解
决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探
究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．
22．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 ，求过M点的坐标；
（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的
平行四边形的
面积；（5分）（3）设斜率为 的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆 相切，
求证：OP⊥OQ；（6分）
[解]（1）双曲线 ，左焦点 .
设 ，则 ， ……2分
由M是右支上一点，知 ，所以 ，得 .
所以 . ……5分
（2）左顶点 ，渐近线方程： .
过A与渐近线 平行的直线方程为： ，即 .
解方程组 ，得 . ……8分
所求平行四边形的面积为 . ……10分
（3）设直线PQ的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ，
即 (*).
由 ，得 .
设P(x, y)、Q(x, y)，则 .
1 1 2 2
，所以
.
由(*)知 ，所以OP⊥OQ. ……16分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．
特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离
心率为 ，它的渐近线为 ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解
题时间，本题属于中档题 ．
23．对于项数为 m 的有穷数列数集 ，记（k=1,2,…,m），即
为 中的最大值，并称数列 是 的控制数列.如1,3,2,5,5的控
制数列是
1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ；
（4分）
（2）设 是 的控制数列，满足 （C 为常数，
k=1,2,…,m）.
求证： （k=1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数 .若 ， 是 的控
制数列，
求 .
[解]（1）数列 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；
2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分
（2）因为 ， ，
所以 . ……6分
因为 ， ，
所以 ，即 . ……8分
因此， . ……10分
（ 3 ） 对 ， ；
；
； .
比较大小，可得 . ……12分因 为 ， 所 以 ， 即
；
，即 .
又 ，
从而 ， ， ， .
……15分
因此
=
=
= = = . ……18分
【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题
属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合
考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．
