2010年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_地方卷高考文科数学_上海文科数学02-16

绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．已知集合A{1,3,m}，B{3,4}，A⋃B{1,2,3,4}，则m_______________． 2．不等式 的解集是_______________． 3．行列式 的值是_______________． 4．若复数z12i（i为虚数单位），则 _______________． 5．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为 100的样本，则应从C中抽取_______________个个体． 6．已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为6的正方体，侧棱PA底面ABCD，且PA8， 则该四棱锥的体积是_______________． 7．圆C:x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离 开始 d_______________． 8．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等， T←9,S←0 则点P的轨迹方程为_________． 9．函数f(x)log (x3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是_____． 3 10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2 输出T,S 张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）． 11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右 否 边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入 T≤19 园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的 是 执行框内应填入_______________． T←T1 输入a 结束12．在n行n列矩阵 中， 记位于第i行第j列的数为a (i,j1,2,···,n)． ij 当n9时，a a a ···a _______________． 11 22 33 99 13．在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 ， Γ 、 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线 上的点P，若 Γ (a、bR)，则a、b满足的一个等式是_______________． 14．将直线l:xy10、l:nxyn0、l:xnyn0(nN*,n≥2)围成的三角形面积记为S， 1 2 3 n 则 _______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．满足线性约束条件 的目标函数zxy的最大值是 （ ） A．1 B． C．2 D．3 16．“ (kZ)”是“tanx1”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．若x 是方程lgxx2的解，则x 属于区间 （ ） 0 0 A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2) 18．若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则ABC （ ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角 三角形 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分） 已知 ，化简： ． 20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个 全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑 料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求 出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的 灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑 骨架等因素）． 21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满 分8分． 已知数列{a}的前n项和为S，且Sn5a85,nN*． n n n n (1) 证明：{a1}是等比数列； n (2) 求数列{S}的通项公式，并求出使得S >S 成立的最小正整数n． n n1 n 22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 若实数x、y、m满足|xm|<|ym|，则称x比y接近m． (1) 若x21比3接近0，求x的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2bab2比a3b3接近 ； (3) 已知函数f(x)的定义域D{x|x≠k,kZ,xR}．任取xD，f(x)等于1sinx和1sinx 中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单 调性（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆 的方程为 ，A(0,b)、B(0,b)和Q(a,0)为 的三个顶点． Γ Γ (1) 若点M满足 ，求点M的坐标； (2) 设直线l:ykxp交椭圆 于C、D两点，交直线l:ykx于点E．若 ， 1 1 2 2 证明：E为CD的中点； Γ (3) 设点P在椭圆 内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆 的两个交点P、P 满足 ？令a10，b5，点P的坐标是(8,1)．若椭圆 上 1 2 Γ Γ Γ 的点P、P 满足 ，求点P、P 的坐标． 1 2 1 2 2010 年高考数学（理科）上海试题 2010-6-7 班 级 _____ ， 学 号 _____ ， 姓 名 _____________ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式 的解集是_______________． 2．若复数z12i（i为虚数单位），则 _______________．3．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为 _________． 4．行列式 的值是_______________． 5．圆C:x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_______________． 6．随机变量 的概率分布由下表给出： 开始 x 7 8 9 10 T←9,S←0 P( =x) 0.3 0.35 0.2 0.15 则该随机变量 的均值是_______________． 输出T,S 7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右 边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入 否 园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的 T≤19 执行框内应填入_______________． 是 8．对于不等于1的正数a，函数f(x)log (x3)的反函数的图像都 a T←T1 经过点P，则点P的坐标为_______________． 9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为 “抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率 输入a ______________(结果用最简分数表示)． 10．在n行n列矩阵 中 结束 a (i,j1,2,···,n)．当n9时，a a a ···a _______________． ij 11 22 33 99 11．将直线l：nxyn0、l：xnyn0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为 1 2 S， n D C 则 _______________． 12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD O 相交于点O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠， 使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体 的体积是_______________． A B 13．如图所示，直线 与双曲线 的渐近线交 y 于 、 两点，记 ， ，任取双曲线 E 1 上的点P，若 ， O x E 则a、b满足的一个等式是_______________． 214．从集合 的子集中选出4个不同的子集， 需同时满足以下两个条件： (1) 都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有 或 ． 那么，共有___________种不同的选择． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“ (kZ)”是“tanx1”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．直线l的参数方程是 ，则l的方向向量 可以是 （ ） A．(1,2) B．(2,1) C．(2,1) D．(1,2) 17．若x 是方程 的解，则x 属于区间 （ ） 0 0 A． B． C． D． 18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 、 、 ，则此人将 （ ） A．不能作出满足要求的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分） 已知 ，化简： ． 20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分． 已知数列{a}的前n项和为S，且Sn5a85,nN*． n n n n (1) 证明：{a1}是等比数列； n (2) 求数列{S}的通项公式，并指出n为何值时，S 取得最小值，并说明理由． n n21．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分． B 8 B 7 B B 6 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的 1 矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用 B 5 B S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． 2 B B 3 4 (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最 大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯． 当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯AB、 1 3 A A A 3 B 5 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． A 8 7 A 6 1 A A 5 2 A A 3 4 22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分． 若实数x、y、m满足|xm|﹥|ym|，则称x比y远离m． (1) 若x21比1远离0，求x的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离 ； (3) 已知函数f(x)的定义域 ．任取xD，f(x)等于sinx和 cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 已知椭圆 的方程为 ，点P的坐标为(a,b)． (1) 若直角坐标平面上的点M、A(0,b)、B(a,0)满足 ，求点M的坐标；(2) 设直线l:ykxp交椭圆 于C、D两点，交直线l:ykx于点E．若 ， 1 1 2 2 证明：E为CD的中点； Γ (3) 对于椭圆 上的点Q(acos ,bsin )(0< <)，如果椭圆 上存在不同的两点P、P 1 2 使 ，写出求作点P、P 的步骤，并求出使P、P 存在的 的取值范围． Γ 1 2 1 Γ2文科参考答案 一、填空题 1．2； 2．(4,2)； 3．0.5； 4．62i； 5．20； 6．96； 7． 3； 8．y28x； 9．(0,2)； 10． ； 11．S←Sa； 12．45； 13．4ab1； 14． ． 二、选择题 15．C； 16．A； 17．C； 18．C． 三、解答题 19．原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20． 20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0S，得 ， ，最小正整数n15． n1 n 22．(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ， 因为 ， 所以 ，即a2bab2比a3b3接近 ； (3) ,kZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，kZ． 23．(1) ；(2) 由方程组 ，消y得方程 ， 因为直线 交椭圆 于 、 两点， 所以>0，即 ， 设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)， 1 1 2 2 0 0 则 ， 由方程组 ，消y得方程(kk)xp， 2 1 又因为 ，所以 ， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜 率k，由 Γ 知F为PP 的中点，根据(2)可得Γ直线l的斜率 ，从 2 1 2 而得直线l的方程． ，直线OF的斜率 ，直线l的斜率 ， 解方程组 ，消y：x22x480，解得P(6,4)、P(8,3)． 1 22010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空 格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.已知集合 A1,3,m， B 3,4， A B 1,2,3,4则m 2 。  解析：考查并集的概念，显然m=2 2x 2.不等式 0的解集是  x|4 x  2  。 x4 2x 解析：考查分式不等式的解法 0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4S，得5 n1 2 ， 2 ，最小正整数n15． n1 n  6    5 nlog 5 25 114.9 6 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小 题满分8分。 若实数x、y、m满足 xm  ym ，则称x比y接近m . （1）若 比3接近0，求 的取值范围； x2 1 x （2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ； a b a2bab2 a3b3 2ab ab （3）已知函数 f(x)的定义域 D  x xk,kZ,xR .任取 xD， f(x)等于 和 中接近0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最 1sinx 1sinx f(x) 小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ， a2bab2 2ab ab a3 b3 2ab ab 因为 ， |a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab|(ab)(ab)2 0 所以 ，即a2bab2比a3b3接近 ； |a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab| 2ab ab (3) 1sinx, x(2k,2k) ,kZ， f(x) 1|sinx|,xk 1sinx, x(2k,2k) f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，   函数f(x)在区间[k ,k)单调递增，在区间(k,k ]单调递减，kZ． 2 2 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分. 已知椭圆 的方程为 x2 y2 ， 、 和 为 的三个顶   1(ab0) A(0,b) B(0,b) Q(a,0)  a2 b2 点.  1   （1）若点M 满足AM  (AQ AB)，求点M 的坐标； 2（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 l : y k x p  C D l : y k x E 1 1 2 2 b2 ，证明： 为 的中点； k k  E CD 1 2 a2 （3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 P  x PQ F l l  的两个交点 、 满足     ？令 ， ，点 的坐 P P PP PP  PQ PP PP  PQ a10 b5 P 1 2 1 2 1 2 标是（-8，-1），若椭圆  上的点P、P 满足 P  P    P  P    P  Q ，求点P、P 的坐标. 1 2 1 2 1 2 a b 解析：(1) M( , )； 2 2 yk x p (2) 由方程组 1 ，消y得方程 ， x2 y2 (a2k2 b2)x2 2a2k pxa2(p2 b2)0   1 1 1 a2 b2 因为直线 交椭圆 于 、 两点， l : y k x p  C D 1 1 所以>0，即 ， a2k2 b2  p2 0 1 设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)， 1 1 2 2 0 0  x x a2k p x  1 2  1 则 0 2 a2k2 b2 ， 1   b2p y k x  p   0 1 0 a2k2 b2 1 由方程组yk x p，消y得方程(kk)xp，  1 2 1 yk x 2  p a2k p x  1 x 又因为 b2 ，所以 k k a2k2 b2 0 ， k   2 1 1 2 a2k 1  yk x b2p  y   2 a2k2 b2 0 1 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率    b2 k ，由PP PP PQΓ知F为PP 的中点，根据(2)可得直线Γl的斜率k  ，从而得直 2 1 2 1 2 1 a2k 2 线l的方程． 1 1 b2 1 F(1, )，直线OF的斜率k  ，直线l的斜率k   ， 2 2 2 1 a2k 2 2 1 y x1   2 解方程组 ，消y：x22x480，解得P 1 (6,4)、P 2 (8,3)． x2 y2   1 100 25