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绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海
卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形
码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷
上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分48分）
1．已知集合A＝ －1，3，2 －1 ，集合B＝ 3， ．若B A，则实数
＝ ．
2．已知圆 －4 －4＋ ＝0的圆心是点P，则点P到直线 － －1＝0的距离
是 ．
3．若函数 ＝ （ ＞0，且 ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 ＝
．
4．计算： ＝ ．
5．若复数 同时满足 － ＝2 ， ＝ （ 为虚数单位），则 ＝ ．
6．如果 ＝ ，且 是第四象限的角，那么 ＝ ．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，
则该椭圆的标准方程是 ．
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的
面积是 ．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它
们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用
分数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面
对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正
交线面对”的个数是 ．11．若曲线 ＝| |＋1与直线 ＝ ＋ 没有公共点，则 、 分别应满足的条
件是 ．
12．三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，
求实数 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是
．
二．选择题（本大题满分16分）
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
（A） ＝ ；（B） ＋ ＝ ； D C
（C） － ＝ ；（D） ＋ ＝ ．
A B
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一
平面上”的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非
必要条件．
15．若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是M，则对任意实常数 ，总有
[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 M，
0∈M．
16．如图，平面中两条直线 和 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 、
分别是M到直线 和 的距离，则称有序非负实数对（ ， ）是点M的“l距离
坐标”．已知常数 ≥0， ≥0，给出下列命题： 1
①若 ＝ ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个； M（，）
l
②若 ＝0，且 ＋ ≠0，则“距离坐标”为
2
（ ， ）的点有且仅有2个； O
③若 ≠0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的
步骤．
17．（本题满分12分）
求函数 ＝2 ＋ 的值域和最小正周期．
[解]18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇
险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距10
海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度
精确到1 ）？
[解]
北
B
A 20
•
10
•C
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC
与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积； P
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）
D
E
A C
O
B
（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）
（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6
分，第3小题满分6分）
已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前
项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞1．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，2，┅，2
），求数列 的通项公式；
（3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| － |＋|
－ |≤4，求 的值．
[解]（1）
（2）（3）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6
分，第3小题满分9分）
已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上
是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所
推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），
并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大
值和最小值（可利用你的研究结论）．
[解]（1）（2）
（3）上海数学(理工农医类)参考答案
2006 年高考上海 数学试卷（理）
一．填空题
1． 解：由 ，经检验， 为所求；
2． 解：由已知得圆心为： ，由点到直线距离公式得： ；
3． 解：由互为反函数关系知， 过点 ，代入得： ；
4 ． 解 ：
；
5． 解：已知 ；
6． 解：已知 ；
7．
解：已知 为所求；
8． 解：如图△OAB中，
(平方单位)；
9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，
有 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有 种方法；
所以，所求概率为： ；
10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面
对”；而正方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成
12个“正交线
面对”，所以共有36个“正交线面对”；
11．解：作出函数 的图象，
如右图所示：
所以， ；12．解：由 ＋25＋| －5 |≥ ，
而 ，等号当且仅当 时成立；
且 ，等号当且仅当 时成立；
所以， ，等号当且仅当 时成立；故
；
二．选择题（本大题满分16分）
D C
13． 解：由向量定义易得， （C）选项错误； ；
14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： A B
1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面
上”；
2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一
个平面内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平
行直线上”；
故选（A）
15．解：选（A）
方法1：代入判断法，将 分别代入不等式中，判断关于 的不等式
解集是否为 ；
方法2：求出不等式的解集；
16．解：选（D）
① 正确，此点为点 ② 正确，注意到 为常数，由 中必有一个为零，另
一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线
的距离为 （或 ）； ③ 正确，四个交点为与直线 相距为 的两条平行线和
与直线 相距为 的两条平行线的交点；
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的
步骤．
17．（本题满分12分）
求函数 的值域和最小正周期．
[解]∴ 函数 的值域是 ,最小正周
期是 ；
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇
险等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C
处的乙
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到 ）？
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10 .
∵ , ∴sin∠ACB= ,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC
与BD相交
于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ．
P
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用
D
E
反三角函数值表示）．
[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 A O C
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
B
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°= ,而底面菱形的面积为2 .
∴四棱锥P-ABCD的体积V= ×2 × =2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA= ,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－ ,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中点,则E( ,0, ) 于是 =( ,0, ), =(0, , ).
设 的夹角为θ,有cosθ= ,θ=arccos ,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos ；
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°= =OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA= ，则EF= .
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF= ，
cos∠FED= =
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos .
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线 交抛物线y2=2x于点A(x,y)、B(x,y).
1 1 2 2
当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为x=3,此时,直线 与抛物线相交于点
A(3, )、B(3,－ ). ∴ =3；当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ，其中 ，
由 得
又 ∵ ，
∴ ，
综上所述，命题“如果直线 过点T(3,0)，那么 =3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线 交抛物线y2=2x于A、B两点,如果 =3,那么该直
线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B( ,1)，此时 =3,
直线AB的方程为： ，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x,y)、B (x,y) 满足 =3，可得
1 1 2 2
yy=－6，
1 2
或 yy=2，如果 yy=－6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果
1 2 1 2
yy=2，可证得直线
1 2
AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6
分，第3小题
满分6分）
已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前
项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞
1．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，
2，┅，2 ），
求数列 的通项公式；
（3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| －
|＋| － |
≤4，求 的值．(1) [证明] 当n=1时,a=2a,则 =a；
2
2≤n≤2k－1时, a =(a－1) S+2, a=(a－1) S +2,
n+1 n n n－1
a －a=(a－1) a, ∴ =a, ∴数列{a}是等比数列.
n+1 n n n
(2) 解：由(1) 得a=2a , ∴aa…a=2 a =2 a =2 ,
n 1 2 n
b= (n=1,2,…,2k).
n
（3）设b≤ ,解得n≤k+ ,又n是正整数,于是当n≤k时, b< ；
n n
当n≥k+1时, b> .
n
原式=( －b)+( －b)+…+( －b)+(b － )+…+(b － )
1 2 k k+1 2k
=(b +…+b )－(b+…+b)
k+1 2k 1 k
= = .
当 ≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2 ≤k≤4+2 ,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6
分，第3小题
满分9分）
已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上
是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你
所推广的
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），
并求函数＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最
小值（可利
用你的研究结论）．
[解]（1）函数y=x+ (x>0)的最小值是2 ，则2 =6, ∴b=log9.
2
(2) 设0y, 函数y= 在[ ,+∞)上是增函数；
1 2 2 1
当00),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数；
当n是偶数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－ ]上是减函数, 在[－ ,0)上是增函数；
F(x)= +
=
因此F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以，当x= 或x=2时，F(x)取得最大值( )n+( )n；
当x=1时F(x)取得最小值2n+1；
