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2002 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得
零分。
1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = .
2．已知向量 和 的夹角为120°，且| |=2，| |=5，则（2 — ）· = .
3．方程log (1—2·3x)=2x+1的解x= .
3
4．若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大
小是 .
5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为a 、b ，n是正整数，则
n n
= .
6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是
.
7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的 9名增至
14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中
没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
8．曲线 （t为参数）的焦点坐标是 .
9．若A、B两点的极坐标为A（4， ）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 .（极角
用反三角函数表示）
10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 .
11．若数列 中，a=3，且a =a2（n是正整数），则数列的通项公式a= .
1 n+1 n n
12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解
x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选 y
对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零
分。
13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
0.5
（A）{z||z|=1, ≤argz≤ ,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤ ,z∈C} x
-1 O 1
（C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C}
14．已知直线 、m，平面α、β，且 ⊥α，m β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则
⊥m ；（2）若 ⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则 ⊥m；（4）若 ∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ）
y y y y
π π π π
-π -π -π
O π x -π O π x O π x O π x
-π -π -π -π
A B C D
16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个
月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下
关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于
某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低
而增加
气温 用电量 O'
140 A'
30
120
D
25 100 B'
20 80
15
60
10
40
P
5
20 O
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 11 2 3 4 5 6 7 8 9101112 A
月份 月份
三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
B
17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，
∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB
所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分12分）已知点A（— ，0）和B（ ，0），动点C到A、B两点的距
离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。
已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1， ]，其中θ∈（— ， ）.（1）当θ= — 时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1， ]上是单调函数.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场
内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范 [200，400） [400，500） [500 ， [700 ， …
围 700） 900）
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
（元）
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的
商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的
优惠率= ，试问：
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小
于 的优惠率？
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分。
已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4， ）和B（5，1）.
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）记a =log f (n)，n是正整数，S 是数列 的前n项和，解关于n的不等式aS≤0；
n 2 n n n
（3）对于（2）中的a 与S ，整数104是否为数列{ a S }中的项？若是，则求出相应的项
n n n n
数；若不是，则说明理由.22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第
3小题满分6分。
规定 = ，其中x∈R，m是正整数，且 =1，这是组合数
（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.
（1）求 的值；
（2）组合数的两个性质：① = ；② + = .
是否都能推广到 （x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并
给出证明；若不能，则说明理由；
（3）已知组合数 是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时， ∈Z.2002年全国普通高等学校招生统一考试
理科数学参考答案（上海卷）
一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ； 6. ； 7. ；
8.（0，1）； 9.（ ，arctan ）； 10. 或 … 11.
12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为
(0，a).
二、DBCC
三、17. [解法一]
如图,以 点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有
设 ，则
因为
因为 平面AOB
是OP与底面AOB所成的角
[解法二]取 中点E，连结DE、BE，则
平面
是BD在平面 内的射影。
又因为
由三垂线定理的逆定理，得
在矩形 中，易得
得
（以下同解法一）
∠POB=arctan .
18. [解] 设点C（x,y），则
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线
由故点C的轨迹方程是
由 ，得
因为 ，所以直线与双曲线有两个交点。
设 、 ，则
故
19. [解] （1）当 时
时， 的值最小为 ； 当x = - 1 时， 的值最大为
（2）函数 图像的对称轴为 。
∵ 在区间 上是单调递增函数，
∴ 或 ，即 或
因此，θ的取值范围是
20. [解] （1）
（2）设商品的标价为x元
则 ，消费额：
由已知得（I） 或（II）
不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为
因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于 的优惠率。
21. [解] （1）由 ，得 故
（2）由题意由 得 ，即 故
（3） ， ， ，
当 时，
当 时，
因此，96不是数列 中的项。
22. [解] （1）
（2）性质①不能推广。例如取x= ； 有意义，但 无意义；性质②能
推广，它的推广形式是 ， ，m是正整数，事实上，当m = 1时，有
当 时 ，
=
（3）当 时，组合数 ∈Z 。当 时， = 0∈Z 。
当 时，
