文档内容
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（56分）
1、函数 的反函数为 。
[from:www.xk100.com]
2、若全集 ，集合 ，则 。
3、设 为常数，若点 是双曲线 的一个焦点，则 。
4、不等式 的解为 。
5、在极坐标系中，直线 与直线 的夹角大小为 。
6、在相距2千米的 、 两点处测量目标 ，若 ，则 、
两点之间的距离是 千米。
7、若圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，则该圆锥的体积为 。
8、函数 的最大值为 。 x 1 2 3
P(ε=x) ? ! ?
9、马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表
请小牛同学计算 的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能
肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。10、行列式 （ ）的所有可能值中，最大的是 。
11、在正三角形 中， 是 上的点， ，则 。
12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相
同，结果精确到 ）。
13、设 是定义在 上、以1为周期的函数，若 在 上的值域为
，则 在区间 上的值域为 。
14、已知点 、 和 ，记 的中点为 ，取 和 中的一条，
记其端点为 、 ，使之满足 ；记 的中点为 ，取
和 中的一条，记其端点为 、 ，使之满足 ；依次下去，
得到点 ，则 。
二、选择题（20分）
15、若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）
A B C D
16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为〖答〗（ ）
A B C D
17 、 设 是 空 间 中 给 定 的 5 个 不 同 的 点 ， 则 使成立的点 的个数为〖答〗（ ）
A 0 B 1 C 5 D 10
18、设 是各项为正数的无穷数列， 是边长为 的矩形面积（ ），则
为等比数列的充要条件为〖答〗（ ）
A 是等比数列。
B 或 是等比数列。
C 和 均是等比数列。
D 和 均是等比数列，且公比相同。
三、解答题（74分）
19、（12分）已知复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 ，
是实数，求 。
20、（12分）已知函数 ，其中常数 满足 。
⑴ 若 ，判断函数 的单调性；
⑵ 若 ，求 时 的取值范围。
21、（14分）已知 是底面边长为1的正四棱柱， 是 和 的
交点。⑴ 设 与底面 所成的角的大小为 ，二面角 的大小为 。
A D
求证： ；
B
C
⑵ 若点 到平面 的距离为 ，求正四棱柱 的高。
A 1 D 1
O
1
B 1 C 1
22、（18分）已知数列 和 的通项公式分别为 ， （
），将集合
中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列
。
1 求 ；
2 求证：在数列 中、但不在数列 中的项恰为 ；
3 求数列 的通项公式。
23、（18分）已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，线段 长度的最小值称
为点 到线段 的距离，记作 。
⑴ 求点 到线段 的距离 ；
⑵ 设 是长为2的线段，求点集 所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段 距离相等的点的 集合 ，其中，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，
②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
[
② 。
③ 。2011年上海高考数学试题（理科）答案
一、填空题
1、 ；2、 ；3、 ；4、 或 ；5、 ；6、 ；
7、 ；
8、 ；9、 ；10、 ；11、 ；12、 ；13、 ；14、 。
二、选择题
15、 ；16、 ；17、 ；18、 。
三、解答题
19、解： ………………（4分）
设 ，则 ，………………（12
分）
∵ ，∴ ………………（12分）
20 、 解 ： ⑴ 当 时 ， 任 意 ， 则
∵ ， ，
∴ ，函数 在 上是增函数。
当 时，同理，函数 在 上是减函数。
⑵
当 时， ，则 ；当 时， ，则 。
21、解：设正四棱柱的高为 。
⑴ 连 ， 底面 于 ，∴ 与底面 所成的角为 ，即
A D
B
C
∵ ， 为 中点，∴ ，又 ，
A D
∴ 是二面角 的平面角，即 1 1
O
B 1
1 C
1
∴ ， 。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有
z
A D
B
C
设平面 的一个法向量为 ，
A
1
D 1 y
∵ ，取 得 B 1 O 1
C
1
x
∴ 点 到平面 的距离为 ，则 。
22、⑴ ；
⑵ ① 任意 ，设 ，则 ，即② 假设 （矛盾），∴
∴ 在数列 中、但不在数列 中的项恰为 。
⑶ ，
， ，
∵
∴ 当 时，依次有 ，……
y
1
A B
∴ 。 -1 O 1 x
-1
23、解：⑴ 设 是线段 上一点，则
， 当 时 ，
。
⑵ 设线段 的端点分别为 ，以直线 为 轴， 的中点为原点建立直角坐标系，
则 ，点集 由如下曲线围成
，
其面积为 。
⑶ ① 选择 ，
② 选择 。③ 选择 。
y
3
C
y A
[
3
C A
y
2.5
B
-1 O 1 x A
D B
D
-1 O 1 x B=C 1 2 x
D -2
