文档内容
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2009 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，
则实数a的取值范围是__________________.
3. 若行列式 中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条件是
___________ _______.
4.某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是
________________.
5.如图，若正四棱柱ABCD—AB C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 与
1 1 1 1 1
AD所成角的大小是___________________ (结果用反三角函数值表示).
w.w.w.zxxk.c.o.m6.若球 O 、O 表示面积之比 ，则它们的半径之比
1 2
=_____________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
7.已知实数 x、y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是
___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何
体体积是 。
w.w.w.zxxk.c.o.m
9．过点 A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线 交于 两点，则
= 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10.函数 的最小值是 。
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿
者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且
。若 的面积为9，则 .
w.w.w.zxxk.c.o.m
13.已知函数 。项数为27的等差数列 满足 且公差,若 ，则当k= 时， 。
14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为
格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，
1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5
个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应
在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15．已知直线 平行，则K得值
是（ ）
w.w.w.zxxk.c.o.m
（A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2
16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱
长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
17．点P（4，－2）与圆 上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）
（A） （B）
（C） （D）
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群
体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
（C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 .
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分14分）
已知复数 （a、b ）(I是虚数单位)是方程 的根 . 复数
（ ）满足 ，求 u 的取值范围 .
w.w.w.zxxk.c.o.m
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，
， .
（1） 若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
w.w.w.zxxk.c.o.m
（2） 若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时
可用函数
w.w.w.zxxk.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ ）， 表
示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小
题满分8分.
C F
已知双曲线 的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线m: ,设过点A
的直线l的方向向量 。
（1）求双曲线C的方程；
w.w.w.zxxk.c.o.m（2）若过原点的直线 ，且a与l的距离为 ，求K的值；
（3）证明：当 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 .
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分.
已知 是公差为d的等差数列， 是公比为q的等比数列
（1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由；
（2）若 （a、q为常数，且aq 0）对任意m存在k，有 ，试求a、q
满足的充要条件；
（3）若 试确定所有的p,使数列 中存在某个连续p项的和式数列中
的一项，请证明.
w.w.w.zxxk.c.o.m上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴
上条形码。
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
1．【答案】
【解析】由y＝x3+1，得x＝ ，将y改成x，x改成y可得答案。
2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，
则实数a的取值范围是__________________.
2．【答案】a≤1
[来
【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。
3. 若行列式 中，元素4的代数余子式大于 0，则x满足的条件是___________
_______.
3．【答案】
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
[
4.某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是
________________.
4．【答案】
【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝ ，所以，有分段函数。
5.如图，若正四棱柱ABCD—AB C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 与AD所
1 1 1 1 1
成角的大小是___________________ (结果用反三角函数值表示).
w.w.w.zxxk.c.o.m
5．【答案】【解析】因为 AD∥AD ，异面直线 BD 与 AD 所成角就是 BD 与 AD 所在角，即
1 1 1 1 1 1
∠ADB，
1 1
由勾股定理，得AB＝2 ，tan∠ADB＝ ，所以，∠ADB＝ 。
1 1 1 1 1
6.若球O、O 表示面积之比 ，则它们的半径之比 =_____________.
1 2 w.w.w.zxxk.c.o.m
6．【答案】2
【解析】由 ＝4，得 ＝2。
7.已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值
是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
7．【答案】－9
【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：
－z，画直线 及其平行线，当此直线经过点A
时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－
9。
8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何
体体积是 。
w.w.w.zxxk.c.o.m
8．【答案】
【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝ ＝
9．过点 A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线 交于 两点，则
= 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9．【答案】
【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线 ，得：x2－4x＋1＝0， ＋ ＝4，＝ 1 ， 则 ＝ ＝ ＝
10.函数 的最小值是 。
10．【答案】
【解析】 ，所以最小值为：
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿
者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
11．【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时
有： ，概率为:： ，所以，均不少于1名的概率为：1－ 。
12.已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且
。若 的面积为9，则 .
w.w.w.zxxk.c.o.m
12．【答案】3
【解析】依题意，有 ，可得4c2＋36＝4a2，即
a2－c2＝9，故有b＝3。
13.已知函数 。项数为27的等差数列 满足 且公差
,若 ，则当k= 时， 。
13．【答案】14
【解析】函数 在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为 ，
w.w.w.zxxk.c.o.m
所以 ，所以当 时， .
14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为
格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，
1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5
个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
14．【答案】（3，3）
【 解 析 】 设 发 行 站 的 位 置 为 ， 零 售 点 到 发 行 站 的 距 离 为
，
这六个点的横纵坐标的平均值为 ， ，记
A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比
较可知，在（3,3）处z取得最小值。
二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应
在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15．已知直线 平行，则K得值
是（ ）
w.w.w.zxxk.c.o.m
（A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2
15、【答案】C
【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得： ＝k－
3，解得：k＝5，故选C。
16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱
长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）16、【答案】B
【解析】从正面看，应看到直角边为3的顶点，而高为4，故正视图应为B。
17．点P（4，－2）与圆 上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）
（A） （B）
（C） （D）
17、【答案】A
【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则 ，解得：
，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群
体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
（C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 .
18、【答案】D
【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，
中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大
于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，
如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分14分）
已知复数 （a、b ）(I是虚数单位)是方程 的根 . 复数
（ ）满足 ，求 u 的取值范围 .
w.w.w.zxxk.c.o.m
19.解：原方程的根为w.w.w.zxxk.c.o.m
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，
， .
（3） 若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
w.w.w.zxxk.c.o.m
（4） 若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
20题。证明：（1）
即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
w.w.w.zxxk.c.o.m
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时
可用函数
w.w.w.zxxk.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ ）， 表
示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
w.w.w.zxxk.c.o.m
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
21题。证明（1）当 时，
[来
而当 时，函数 单调递增，且
故函数 单调递减
w.w.w.zxxk.c.o.m
当 时，掌握程度的增长量 总是下降
(2)有题意可知
整理得
解得 …….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小
题满分8分.
C F
已知双曲线 的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线m: ,设过点A
的直线l的方向向量 。
（4）求双曲线C的方程；
w.w.w.zxxk.c.o.m
（5）若过原点的直线 ，且a与l的距离为 ，求K的值；
（6）证明：当 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 .
22．【解】（1）设双曲线 的方程为，解额 双曲线 的方程为
（2）直线 ，直线
由题意，得 ，解得
（3）【证法一】设过原点且平行于 的直线
则直线 与 的距离 当 时，
又双曲线 的渐近线为
w.
双曲线 的右支在直线 的右下方，
双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。
故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为
【证法二】假设双曲线 右支上存在点 到直线 的距离为 ，
则
由（1）得
设 ，
当 时， ；
将 代入（2）得
，
w.w.w.zxxk.c.o.m方程 不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分.
已知 是公差为d的等差数列， 是公比为q的等比数列
（1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由；
（2）若 （a、q为常数，且aq 0）对任意m存在k，有 ，试求a、q
满足的充要条件；
（3）若 试确定所有的p,使数列 中存在某个连续p项的和式数列中
的一项，请证明.
w.w.w.zxxk.c.o.m
23．【解】（1）由 得 ，
整理后，可得
、 ， 为整数
不存在 、 ，使等式成立。
（2）当 时，则
即 ，其中 是大于等于 的整数
反之当 时，其中 是大于等于 的整数，则 ，
显然 ，其中
、 满足的充要条件是 ，其中 是大于等于 的整数
（3）设
当 为偶数时， 式左边为偶数，右边为奇数，
w.w.w.zxxk.c.o.m
当 为偶数时， 式不成立。由 式得 ，整理得
当 时，符合题意。
当 ， 为奇数时，
由 ，得
[
当 为奇数时，此时，一定有 和 使上式一定成立。
当 为奇数时，命题都成立。
w.w.w.zxxk.c.o.m
