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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题
1．计算：
2．设 ， 是纯虚数，其中i是虚数单位，则
3．若 ，则
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若 ，
则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
5．设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 ．
6．方程 的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两
个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
9．设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 ，若AB=4， ，则 的
两个焦点之间的距离为________
10．设非零常数 d 是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值
，则方差
11．若 ，则 ．
12．设 为实常数， 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
若 对一切 成立，则 的取值范围为________
13．在 平面上，将两个半圆弧
和 、两条直线 和 围成
的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周
而成的几何体为 ，过 作 的水平截面，所
得截面面积为 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为__________
14．对区间I上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为
的函数 有反函数 ，且 ，若方程
有解 ，则
二、选择题
15．设常数 ，集合 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
17．在数列 中， ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
，（ ）则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分
别 为 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中 ,
,则 满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2,AD=1,A A=1，证明直线
1 1 1 1 1
BC 平行于平面DA C，并求直线BC 到平面DAC的距离.
1 1 1 1
D
C
A
B
C
1
D
A 1
1 B
1
20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产
条件要求 ），每小时可获得利润是 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大
利润.
21．（6分+8分）已知函数 ，其中常数 ；
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；（2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到
函数 的图像，区间 （ 且 ）满足： 在 上至少含
有30个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值．22．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线 ，曲线
，P是平面上一点，若存在过点 P的直线与 都有
公共点，则称P为“C —C 型点”．
1 2
(1)在正确证明 的左焦点是“C —C 型点”时，要使用一条过该焦点的
1 2
直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“C —
1
C 型点”；
2
(3)求证：圆 内的点都不是“C —C 型点”．
1 2
23．（3 分+6分+9分）给定常数 ，定义函数 ，数列
满足 .
（1）若 ，求 及 ；（2）求证：对任意 ，；
（3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存
在，说明理由.2013年 上海 高考理科数学（参考答案）
一． 填空题
1. 2. －2 3. 0 4. 5. －2 6. 7. 8.
9. 10. 30d² 11. 12. 13. 14. 2
二． 选择题
题号 15 16 17 18
代号 B B A D
三． 解答题
19. 【解答】因为ABCD-A B C D 为长方体，故 ，
1 1 1 1
故ABC D 为平行四边形，故 ，显然B不在平面DAC上，于是直
1 1 1
线BC 平行于平面DA C；
1 1
直线BC 到平面DAC的距离即为点B到平面DAC的距离设为
1 1 1
考虑三棱锥ABCD 的体积，以ABC为底面，可得
1
而 中， ，故
所以， ，即直线BC 到平面DAC的距离为 ．
1 1
20．【解答】(1)根据题意，
又 ，可解得
(2)设利润为 元，则
故 时， 元．
21．【解答】(1)因为 ，根据题意有
(2) ，
或 ，
即 的零点相离间隔依次为 和 ，
故若 在 上至少含有 30 个零点，则 的最小值为．
23. 【解答】：（1）C 的左焦点为 ，过 F 的直线 与 C 交于
1 1
，与C 交于 ，故C 的左焦点为“C -C 型点”，
2 1 1 2
且直线可以为 ；
（2）直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须 ；
直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须
故直线 至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
（3）显然过圆 内一点的直线 若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
根据对称性，不妨设直线 斜率存在且与曲线C 交于点 ，则
2
直线 与圆 内部有交点，故
化简得， 。。。。。。。。。。。。①
若直线 与曲线C 有交点，则
1
化简得， 。。。。。②
由①②得，
但此时，因为 ，即①式不成立；
当 时，①式也不成立
综上，直线 若与圆 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2
即圆 内的点都不是“C -C 型点” ．
1 2
23. 【 解 答 】 ： （ 1 ） 因 为 ， ， 故
，（2）要证明原命题，只需证明 对任意 都成立，
即只需证明
若 ，显然有 成立；
若 ，则 显然成立
综上， 恒成立，即对任意的 ，
（3）由（2）知，若 为等差数列，则公差 ，故n无限增大时，
总有
此时，
即
故 ，
即 ，
当 时，等式成立，且 时， ，此时 为等差数列，满
足题意；
若 ，则 ，
此时， 也满足题意；
综上，满足题意的 的取值范围是 ．2013年上海市秋季高考理科数学
一、填空题
1．计算：
【解答】根据极限运算法则， ．
2．设 ， 是纯虚数，其中i是虚数单位，则
【解答】 ．
3．若 ，则
【解答】 ．
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若 ，
则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
【 解 答 】 ， 故
．
5．设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则
【解答】 ，故 ．
6．方程 的实数解为________
【解答】原方程整理后变为 ．
7．在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
【解答】联立方程组得 ，又 ，故所求为 ．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两
个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为 ．
9．设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 ，若AB=4， ，则 的
两个焦点之间的距离为________
【 解 答 】 不 妨 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ， 于 是 可 算 得 ， 得
．
10．设非零常数 d 是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值
，则方差【解答】 ， ．
11．若 ，则
【 解 答 】 ， ， 故
．
12．设 为实常数， 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
若 对一切 成立，则 的取值范围为________
【解答】 ，故 ；当 时，
即 ，又 ，故 ．
13．在 平面上，将两个半圆弧
和 、两条直线 和 围成
的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周
而成的几何体为 ，过 作 的水平截面，所
得截面面积为 ，试利用祖暅原理、一个平
放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为 的圆柱平放，
一个高为2，底面面积 的长方体，这两个几何体与 放
在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即 的
体积值为 ．
14．对区间I上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为
的函数 有反函数 ，且 ，若方程
有解 ，则
【解答】根据反函数定义，当 时， ； 时， ，
而 的 定 义 域 为 ， 故 当 时 ， 的 取 值 应 在 集 合
，故若 ，只有 ．
二、选择题
15．设常数 ，集合 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解答】集合A讨论后利用数轴可知， 或 ，解答选项为B．
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．
17．在数列 中， ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
，（ ）则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】 ，而 ，故不同数值个数为18个，
选A．
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分
别 为 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中 ,
,则 满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
【解答】作图知，只有 ，其余均有 ，故选D．
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2,AD=1,A A=1，证明直线
1 1 1 1 1
BC 平行于平面DA C，并求直线BC 到平面DAC的距离.
1 1 1 1
【解答】因为ABCD-A B C D 为长方体，故 ， D C
1 1 1 1
A
故ABC D 为平行四边形，故 ，显然B不在平面DAC上， B
1 1 1
于是直线BC 1 平行于平面DA 1 C； C
1
直线BC 1 到平面D 1 AC的距离即为点B到平面D 1 AC的距离设 A D 1
1 B
为 1
考 虑 三 棱 锥 ABCD 的 体 积 ， 以 ABC 为 底 面 ， 可 得
1
而 中， ，故
所以， ，即直线BC 到平面DAC的距离为 ．
1 1
20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得利润是 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大
利润.
【解答】(1)根据题意，
又 ，可解得
(2)设利润为 元，则
故 时， 元．
21．（6分+8分）已知函数 ，其中常数 ；
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到
函数 的图像，区间 （ 且 ）满足： 在 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值．
【解答】(1)因为 ，根据题意有
(2) ，
或 ，
即 的零点相离间隔依次为 和 ，
故若 在 上至少含有30个零点，则 的最小值为 ．22．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线 ，曲线
，P是平面上一点，若存在过点 P的直线与 都有
公共点，则称P为“C —C 型点”．
1 2
(1)在正确证明 的左焦点是“C —C 型点”时，要使用一条过该焦点的
1 2
直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“C —
1
C 型点”；
2
(3)求证：圆 内的点都不是“C —C 型点”．
1 2
【解答】：（1）C 的左焦点为 ，过F的直线 与C 交于 ，
1 1
与C 交于 ，故C 的左焦点为“C -C 型点”，且直线可以为 ；
2 1 1 2
（2）直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须 ；
直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须
故直线 至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
（3）显然过圆 内一点的直线 若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
根据对称性，不妨设直线 斜率存在且与曲线C 交于点 ，则
2
直线 与圆 内部有交点，故
化简得， 。。。。。。。。。。。。①
若直线 与曲线C 有交点，则
1
化简得， 。。。。。②
由①②得，
但此时，因为 ，即①式不成立；
当 时，①式也不成立
综上，直线 若与圆 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2即圆 内的点都不是“C -C 型点” ．
1 2
23．（3 分+6分+9分）给定常数 ，定义函数 ，数列
满足 .
（1）若 ，求 及 ；（2）求证：对任意 ，；
（3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存
在，说明理由.
【解答】：（1）因为 ， ，故 ，
（2）要证明原命题，只需证明 对任意 都成立，
即只需证明
若 ，显然有 成立；
若 ，则 显然成立
综上， 恒成立，即对任意的 ，
（3）由（2）知，若 为等差数列，则公差 ，故n无限增大时，总有
此时，
即
故 ，
即 ，
当 时，等式成立，且 时， ，此时 为等差数列，满足题意；
若 ，则 ，
此时， 也满足题意；
综上，满足题意的 的取值范围是 ．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3
小题满分8分．
如图，已知双曲线 ： ，曲线 ： ． 是平面内一点，若存
在过点 的直线与 、 都有公共点，则称 为“ 型点”．
（1）在正确证明 的左焦点是“ 型点”时，要使
用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程
（不要求验证）；
（2）设直线 与 有公共点，求证 ，进而证
明原点不是“ 型点；
（3）求证：圆 内的点都不是“ 型点”．
22．解：（1）C 的左焦点为 ，过 F 的直线
1
与 C 交 于 ， 与 C 交 于
1 2，故C 的左焦点为“C -C 型点”，且直线可以为 ；
1 1 2
（2）直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须 ；
直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须
故直线 至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
（3）显然过圆 内一点的直线 若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
根据对称性，不妨设直线 斜率存在且与曲线C 交于点 ，则
2
直线 与圆 内部有交点，故
化简得， 。。。。。。。。。。。。①
若直线 与曲线C 有交点，则
1
化简得， 。。。。。②
由①②得，
但此时，因为 ，即①式不成立；
当 时，①式也不成立
综上，直线 若与圆 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2
即圆 内的点都不是“C -C 型点”。
1 2
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3
小题满分9分．
给定常数 ，定义函数 ．数列 ， ， ，…满足
．
（1）若 ，求 及 ；
（2）求证：对任意 ， ；
（3）是否存在 ，使得 ， ， ，…， …成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不存在，说明理由．23．解：（1）因为 ， ，故 ，
（2）要证明原命题，只需证明 对任意 都成立，
即只需证明
若 ，显然有 成立；
若 ，则 显然成立
综上， 恒成立，即对任意的 ，
（3）由（2）知，若 为等差数列，则公差 ，故n无限增大时，总有
此时，
即
故 ，
即 ，
当 时，等式成立，且 时， ，此时 为等差数列，满足题意；
若 ，则 ，
此时， 也满足题意；
综上，满足题意的 的取值范围是 。
