文档内容
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
1、设全集 ．若集合 ， ，则 ．
2、若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ．
3、若线性方程组的增广矩阵为 、解为 ，则 ．
4、若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 ．
5、抛物线 （ ）上的动点 到焦点的距离的最小值为 ，则 ．
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7、方程 的解为 ．
8、在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，
则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9、已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为
双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 ．10、设 为 ， 的反函数，则 的最大值
为 ．
11、在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）．
12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随
机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两
张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量
和 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
13、已知函数 ．若存在 ， ， ， 满足 ，
且
（ ， ），则
的最小值
为 ．
14、在锐角三角形 中， ， 为边 上的点， 与 的面积分
别为 和 ．过 作 于 ， 于 ，则 ．
二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
15、设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16、已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的
纵坐标为（ ）A． B． C． D．
17、记方程①： ，方程②： ，方程③： ，
其中 ， ， 是正实数．当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无
实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
18、设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，
则极限 （ ）
A． B． C． D．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19 、 （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 长 方 体 中 ， ，
， 、 分别是 、 的中点．证明 、 、 、 四点共面，并求
直线 与平面 所成的角的大小.
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、
乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：
千米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.
（1）求 与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 千米.当 时，求 的表达式，并判
断 在 上得最大值是否超过 ？说明理由.
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，记得
到的平行四边形 的面积为 .
（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明
；
（2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值.
22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知数列 与 满足 ， .
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）设 的第 项是最大项，即 （ ），求证：数列 的第 项是最
大项；
（3）设 ， （ ），求 的取值范围，使得 有最大值 与最
小值 ，且 .
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分.
对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则称 为余弦周期函数，且称 为其余弦周期.已知 是以 为余弦周期的余弦周期
函数，其值域为 .设 单调递增， ， .
（1）验证 是以 为周期的余弦周期函数；
（2）设 ．证明对任意 ，存在 ，使得 ；
（3）证明：“ 为方程 在 上得解”的充要条件是“ 为方程
在 上有解”，并证明对任意 都有 .
