文档内容
2015年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
（理科）
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（
∁R
P）∩Q=（ ）
A [0，1） B （0，2 C （1，2） D [1，2 A B C D
． ． ． ． ． ． ． ．
] ]
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card
（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A． 命题①和命题②都成立 B． 命题①和命题②都不成立
C． 命题①成立，命题②不成立 D． 命题①不成立，命题②成立
7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x R都有（ ）
A f（sin2x） B f（sin2x） C f（x2+1）=| D f（x2+2x）=|
． =sinx ． =x2+x ． x+1| ∈ ． x+1|
8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角
A 8cm3 B 12cm3 C D
． ． ． ．
A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
3．（5分）（2015•浙江）已知{a }是等差数列，公差d不为零，前n项和是S ，若a ，a ，a 成等比数列，则（
n n 3 4 8
）
A a d＞0，dS B a d＜0，dS C a d＞0，dS D a d＜0，dS
1 4 1 4 1 4 1 4
． ＞0 ． ＜0 ． ＜0 ． ＞0
4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ） A ∠A′DB≤α B ∠A′DB≥α C ∠A′CB≤α D ∠A′CB≥α
． ． ． ．
A． n N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B． n N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
∈
C． n
0
N*，f（n
0
）∉N*且f（n
0
）＞ D． n
0
N*，f（n
0
）∉N*或f（n
0
）＞
∀ ∈ ∀ ∈
n n
0 0
∃ ∈ ∃ ∈ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）（2015•浙江）双曲线 =1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，
其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）= ，则f（f（﹣3））= ，f（x）
的最小值是 ．
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是
．
12．（4分）（2015•浙江）若a=log 3，则2a+2﹣a= ． 18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1 上的
4
最大值．
∈ ]
13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD， （1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ． （2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．
19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆 上两个不同的点A，B关于直线y=mx+ 对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 ．
15．（6分）（2015•浙江）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足
，且对于任意x，y R，
∈
，则x = ，y =
0 0
20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a }满足a = 且a =a ﹣a 2（n N*）
n 1 n+1 n n
， |= ．
∈
（1）证明：1≤ ≤2（n N*）；
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
∈
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A= ，b2﹣a2= c2．
（2）设数列{a 2}的前n项和为S ，证明 （n N*）．
n n
（1）求tanC的值；
∈
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A A=4，A 在底面
1 1 1 1 1
ABC的射影为BC的中点，D是B C 的中点．
1 1
（1）证明：A
1
D⊥平面A
1
BC；
（2）求二面角A ﹣BD﹣B 的平面角的余弦值．
1 1分 由a ，a ，a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a d和dS 的符号．
3 4 8 1 4
析
2015 年浙江省高考数学试卷（理科） ：
解 解：设等差数列{a }的首项为a ，则a =a +2d，a =a +3d，a =a +7d，
n 1 3 1 4 1 8 1
参考答案与试题解析 答
由a ，a ，a 成等比数列，得 ，整理得：
： 3 4 8
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
∵d≠0，∴ ，
（理科）
1．（5分）
∴ ，
考点： 交、并、补集的混合运算．
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专题： 集合．
分析： 求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可． = ＜0．
解答： 解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，
解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0 ∪[2，+∞）， 故选：B．
∴ P=（0，2），
R
∵Q=（1，2 ， ]
∴∁（
∁R
P）∩Q=（1，2），
故选：C． ]
点 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
评
：
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（5分）
2．（5分） 考 命题的否定．
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点：
考 由三视图求面积、体积．
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点
题：
：
分 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
专 空间位置关系与距离．
析：
题
： 解 解：命题为全称命题，
分 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 答： 则命题的否定为：∃n 0 N*，f（n 0 ）∉N*或f（n 0 ）＞n 0 ，
析 故选：D．
： ∈
解 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2
答 的正四棱锥，
点 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
：
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2= ． 评：
故选：C．
5．（5分）
考 直线与圆锥曲线的关系．
点 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 菁优网版权所有
点
评
：
：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题
3．（5分） ：
考 等差数列与等比数列的综合． 分
点 菁优网版权所有 析 根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可．
： ：
专 等差数列与等比数列． 解 解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，
题 答 过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，
： ： 由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， ：
取x= ，则sin2x=0，∴f（0）=1；
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，
∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；
则 = = = ， ∴不存在函数f（x），对任意x R都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
故选：A
取x=π，则f（0）=π2+π； ∈
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；
令t2﹣1=x，则t= ；
∴ ；
点 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
即存在函数f（x）= ，对任意x R，都有f（x2+2x）=|x+1|；
评
∴该选项正确．
：
故选：D． ∈
点 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
6．（5分）
评
考 复合命题的真假． ：
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点：
专 集合；简易逻辑．
8．（5分）
题：
考 二面角的平面角及求法．
分 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
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点
析： ③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
：
解 解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card
专 创新题型；空间角．
答： （A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，
题
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命
：
题①成立，
分 解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．
命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card
析
（B∩C），
：
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）
解 解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；
=[card（A∪B）+card（B∪C） ﹣[card（A∩B）+card（B∩C）
答 ②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
： α=∠A′OE，连结AA′，
故选：A ] ]
易得∠ADA′＜∠AOA′，
点 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数
∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
评： 之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅
综上所述，∠A′DB≥α，
凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．
故选：B．
7．（5分）
考 函数解析式的求解及常用方法．
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点
：
专 函数的性质及应用．
题
：
分 利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
析
：
解 解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
点 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
答
评： 分
由三角函数公式化简可得f（x）= sin（2x﹣ ）+ ，易得最小正周期，解不等
析
：
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
式2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 可得函数的单调递减区间．
9．（6分）
解 解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1
考 双曲线的简单性质．
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点： ： = （1﹣cos2x）+ sin2x+1
专 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
= sin（2x﹣ ）+ ，
分 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
析：
∴原函数的最小正周期为T= =π，
解
答： 解：双曲线 =1中，a= ，b=1，c= ，
由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 可得kπ+ ≤x≤kπ+ ，
∴焦距是2c=2 ，渐近线方程是y=± x．
∴函数的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ （k Z）
故答案为：2 ；y=± x．
故答案为：π；[kπ+ ，kπ+ （k Z） ] ∈
点 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
点 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
评： ] ∈
评
10．（6分）
：
考 函数的值．
12．（4分）
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点
考 对数的运算性质．
：
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点
专 计算题；函数的性质及应用．
：
题
专 函数的性质及应用．
：
题
分 根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=
：
析
，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 分 直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．
：
析
解
：
答
：
解：∵f（x）= ， 解 解：∵a=log
4
3，可知4a=3，
答 即2a= ，
：
∴f（﹣3）=lg10=1， 所以2a+2﹣a= + = ．
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1时，f（x）= ，即最小值 ， 故答案为： ．
当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0， 点 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
故f（x）的最小值是 ． 评
：
故答案为：0； ．
13．（4分）
点 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
考 异面直线及其所成的角．
评
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点
：
：
11．（6分）
专 空间角．
考 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
题
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点
：
：
分 连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC
专 三角函数的求值．
析 通过解三角形，求解即可．
题
：
：
解 解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的答 角就是∠EMC，
： ∵AN=2 ，
∴ME= =EN，MC=2 ，
又∵EN⊥NC，∴EC= = ，
∴cos∠EMC= = = ．
故答案为： ．
点 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档
评 题．
：
15．（6分）
考 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．
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点：
点 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 专 创新题型；空间向量及应用．
评 题：
： 分
由题意和数量积的运算可得＜ • ＞= ，不妨设 =（ ， ，0）， =（1，0，
14．（4分） 析：
考 函数的最值及其几何意义．
点
菁优网版权所有 0），由已知可解 =（ ， ，t），可得| ﹣（ |2=（x+ ）2+ （y﹣2）
：
专 不等式的解法及应用；直线与圆． 2+t2，由题意可得当x=x =1，y=y =2时，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公
0 0
题
： 式可得 |．
分 根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分 解
解：∵ • =| || |cos＜ • ＞=cos＜ • ＞= ，
析 成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 答：
：
∴＜ • ＞= ，不妨设 =（ ， ，0）， =（1，0，0）， =（m，n，t），
解 解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，
答 如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，
则由题意可知 = m+ n=2， =m= ，解得m= ，n= ，∴ =（ ， ，t），
：
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，
∵ ﹣（ ）=（ ﹣ x﹣y， ，t），
利用线性规划可得在A（ ， ）处取得最小值3；
∴| ﹣（ |2=（ ﹣ x﹣y）2+（ ）2+t2
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，
即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，
=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，
利用线性规划可得在A（ ， ）处取得最小值3．
由题意当x=x =1，y=y =2时，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，
0 0
综上可得，当x= ，y= 时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．
此时t2=1，故 |= =2
故答案为：3．
故答案为：1；2；2
点 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．
评：
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）考 余弦定理．
则BC= AC=2 ，A O= = ，
点 菁优网版权所有 1
： 易知A （0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，0，0），
1
专 解三角形． A（0， ，0），D（0，﹣ ， ），B （ ，﹣ ， ），
1
题
=（0，﹣ ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ），
：
分 =（﹣ ，0，0）， =（﹣2 ，0，0）， =（0，0， ），
（1）由余弦定理可得： ，已知b2﹣a2= c2．可得 ，a=
析
：
∵ • =0，∴A
1
D⊥OA
1
，
．利用余弦定理可得cosC．可得sinC= ，即可得出tanC= ．
又∵ • =0，∴A
1
D⊥BC，
又∵OA
1
∩BC=O，∴A
1
D⊥平面A
1
BC；
（2）由 = × =3，可得c，即可得出b．
（2）解：设平面A BD的法向量为 =（x，y，z），
1
解
解：（1）∵A= ，∴由余弦定理可得： ，∴b2﹣a2= bc﹣c2，
答 由 ，得 ，
：
又b2﹣a2= c2．∴ bc﹣c2= c2．∴ b= c．可得 ，
取z=1，得 =（ ，0，1），
设平面B BD的法向量为 =（x，y，z），
∴a2=b2﹣ = ，即a= ． 1
由 ，得 ，
∴cosC= = = ．
取z=1，得 =（0， ，1），
∴cos＜ ， ＞= = = ，
∵C （0，π），
又∵该二面角为钝角，
∴sinC= = ．
∈
∴二面角A ﹣BD﹣B 的平面角的余弦值为﹣ ．
1 1
∴tanC= =2．
（2）∵ = × =3，
解得c=2 ．
∴ =3．
点 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理
评 能力与计算能力，属于中档题．
：
17．（15分）
考 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 点 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方
点 菁优网版权所有 评 法的积累，属于中档题．
： ：
专 空间位置关系与距离；空间角．
题
18．（15分）
：
分 （1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA 所在直线分别为x、y、z轴建
1
析 考点： 二次函数在闭区间上的最值．
系，通过 • = • =0及线面垂直的判定定理即得结论； 菁优网版权所有
： 专题： 函数的性质及应用．
（2）所求值即为平面A
1
BD的法向量与平面B
1
BD的法向量的夹角的余弦值的绝 分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点
对值的相反数，计算即可． 值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知
解 （1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA 所在直线分别为 以及三角不等式变形所求得到证明；
1
答 x、y、z轴建系． （2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得
： 到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．
解答： 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣
∴ ，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，
1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣ ，
解得m2 ，∴ 或m ．
因为|a|≥2，所以 或 ≥1， （2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，
所以函数f（x）在[﹣1，1 上单调，
∴S = = |n|• = ，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|} △OAB
=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，]
所以M（a，b）≥ （|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥ |
由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2） = ，
（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥ |2a|≥2； ∴S = ，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵ ，解得
△AOB
（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0
m= ，
为最小值，符合题意；
又对任意x [﹣1，1 ．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到 当且仅当m= 时，S
△AOB
取得最大值为 ．
﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a
点 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系
﹣b|，|a+b|}∈=3，在b]=﹣1，a=2时符合题意，
评： 数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值
所以|a|+|b|的最大值为3．
不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解
20．（15分）
答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f
考 数列的求和；数列与不等式的综合．
（x）|在区间[﹣1，1 上的最大值，以及利用
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点：
三角不等式变形．
专 创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
]
题：
19．（15分） 分
析： （1）通过题意易得0＜a ≤ （n N*），利用a ﹣a = 可得 ≥1，利用 =
n n n+1
考 直线与圆锥曲线的关系．
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点：
= ≤2，即得结论；
专 创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
题：
分 （1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2 （2）通过 =a ﹣a 累加得S = ﹣a ，利用数学归纳法可证明 ≥a ≥ （n≥2），
n n+1 n n+1 n
析： ﹣2=0，设A（x ，y ），B（x ，y ）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x ，y ），利用
1 1 2 2 0 0
中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+ ，可得 ，代入△＞0， 从而 ≥ ≥ ，化简即得结论．
即可解出．
解
证明：（1）由题意可知：0＜a ≤ （n N*），
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S = ，再利用均值不等式即 答： n
△OAB
可得出． ∈
解
又∵a =a ﹣ = ，∴ = =2，
答：
解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程 ，可得 2 1
（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞ 又∵a n ﹣a n+1 = ，∴a n ＞a n+1 ，∴ ≥1，
0，
设线段AB的中点P（x 0 ，y 0 ），则 ．x 0 =﹣m× +n= ， ∴ = = ≤2，
由于点P在直线y=mx+ 上，∴ = + ， ∴1≤ ≤2（n N*）；
∈（2）由已知， =a ﹣a ， =a ﹣a ，…， =a ﹣a ，
n n+1 n﹣1 n 1 2
累加，得S = + +…+ =a ﹣a = ﹣a ，
n 1 n+1 n+1
易知当n=1时，要证式子显然成立；
当n≥2时， = ．
下面证明： ≥a ≥ （n≥2）．
n
易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a =﹣ + ，
k+1
由二次函数单调性知：a ≥﹣ + = ≥ ，
n+1
a ≤﹣ + = ≤ ，
n+1
∴ ≤ ≤ ，即当n=k+1时仍然成立，
故对n≥2，均有 ≥a ≥ ，
n
∴ = ≥ ≥ = ，
即 （n N*）．
点 本题是一道数列与不等式的综合题，∈考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的
评： 关键，注意解题方法的积累，属于难题．
