文档内容
2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足 =i，则|z|=（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
A． B． C． D． 7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点， ，则（ ）
3．（5分）设命题p： n N，n2＞2n，则￢p为（ ） A． B．
A． n N，n2＞2n B． n N，n2≤2n C． n N，n2≤2n D． n N，n2=2n
∃ ∈
C． D．
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．（5分）已知M（x ，y ）是双曲线C： =1上的一点，F ，F 是C的左、右两个焦点，若
0 0 1 2
＜0，则y 的取值范围是（ ）
0
A． B．
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k z
C． D．
∈ ∈
C．（k﹣ ，k+ ），k z D．（ ，2k+ ），k z
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依
∈ ∈
垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图， 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆
放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（
）A．[ ） B．[ ） C．[ ） D．[ ）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则a= ．
14．（5分）一个圆经过椭圆 =1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程
为 ．
15．（5分）若x，y满足约束条件 ．则 的最大值为 ．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 ．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
三、解答题：
A．10 B．20 C．30 D．60
17．（12分）S 为数列{a }的前n项和，已知a ＞0，a 2+2a =4S +3
n n n n n n
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图
（I）求{a }的通项公式：
n
中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
（Ⅱ）设b = ，求数列{b }的前n项和．
n n
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数 x 使得f（x ）＜
0 0
0，则a的取值范围是（ ）18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
表中w= ， =
i i
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程
类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u v ），（u v ）…..（u v ），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估
1 1 2 2 n n
计分别为： = ， = ﹣ ．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）
对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量
i
y（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
i
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
（x﹣ ）2 （w﹣ ）2 （x﹣ ）（y﹣ （w﹣ ）（y﹣
i i i i i i
） ）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+ ，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
选修4一4：坐标系与参数方程
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C ：x=﹣2，圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原
1 2
h（x）零点的个数．
点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C ，C 的极坐标方程；
1 2
（Ⅱ）若直线C 的极坐标方程为θ= （ρ R），设C 与C 的交点为M，N，求△C MN的面积．
3 2 3 2
∈
选修4一1:几何证明选讲 选修4一5：不等式选讲
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． 24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小． （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
=sin30°
参考答案与试题解析
= ．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．
1．（5分）设复数z满足 =i，则|z|=（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）设命题p： n N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A． n N，n2＞2n B． n N，n2≤2n C． n N，n2≤2n D． n N，n2=2n
∃ ∈
【考点】A8：复数的模．
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∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【考点】2J：命题的否定．
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【分析】先化简复数，再求模即可．
【专题】5L：简易逻辑．
【解答】解：∵复数z满足 =i， 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是： n N，n2≤2n，
∴1+z=i﹣zi，
故选：C．
∀ ∈
∴z（1+i）=i﹣1，
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
∴z= =i，
∴|z|=1， 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的
故选：A． 概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础． A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ） 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
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【专题】5I：概率与统计．
A． B． C． D．
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
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该同学通过测试的概率为 =0.648．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
5．（5分）已知M（x ，y ）是双曲线C： =1上的一点，F ，F 是C的左、右两个焦点，若
0 0 1 2
＜0，则y 的取值范围是（ ）
0
A． B． C． D．
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【考点】KC：双曲线的性质． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y 的取值范围． 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
0
【解答】解：由题意， =（﹣ ﹣x ，﹣y ）•（ ﹣x ，﹣y ）=x 2﹣3+y 2=3y 2﹣1＜0， 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则 r=8，
0 0 0 0 0 0 0
所以﹣ ＜y ＜ ． 解得r= ，
0
故选：A．
故米堆的体积为 × ×π×（ ）2×5≈ ，
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
∵1斛米的体积约为1.62立方，
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依 ∴ ÷1.62≈22，
垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，
故选：B．
米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（
）
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】96：平行向量（共线）．
菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用． 【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，
【分析】将向量 利用向量的三角形法则首先表示为 ，然后结合已知表示为 的形式．
求得f（x）的减区间．
【解答】解：由已知得到如图
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为 =2（ ﹣ ）=2，
由 = = = ；
∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
故选：A．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得 +ϕ= ，k z，即ϕ= ，f（x）=cos（πx+ ）．
∈
由2kπ≤πx+ ≤2kπ+π，求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ，故f（x）的单调递减区间为（ ，2k+ ），
k z，
故选：D．
∈
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出 ω，由五点法作
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量 表示为 ．
图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ） 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k z
∈ ∈
C．（k﹣ ，k+ ），k z D．（ ，2k+ ），k z
∈ ∈
【考点】HA：余弦函数的单调性．
菁优网版权所有再次执行循环体后，S= ，m= ，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方
法解答．
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T = ，
r+1
令r=2，则（x2+x）3的通项为 = ，
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图． 令6﹣k=5，则k=1，
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 =30．
程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
故选：C．
【解答】解：第一次执行循环体后，S= ，m= ，n=1，不满足退出循环的条件；
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=2，不满足退出循环的条件；
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=3，不满足退出循环的条件； 中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=5，不满足退出循环的条件；【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x 使得g（x ）在直线y=ax
0 0
﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a
﹣a，解关于a的不等式组可得．
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x 使得g（x ）在直线y=ax﹣a的下方，
0 0
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），
【专题】5Q：立体几何．
∴当x＜﹣ 时，g′（x）＜0，当x＞﹣ 时，g′（x）＞0，
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
∴当x=﹣ 时，g（x）取最小值﹣2 ，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴其表面积为： ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得 ≤a＜1
又∵该几何体的表面积为16+20π，
故选：D．
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档
题．
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数 x 使得f（x ）＜ 【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
0 0
0，则a的取值范围是（ ）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
A．[ ） B．[ ） C．[ ） D．[ ）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则a= 1 ．
【解答】解：一个圆经过椭圆 =1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．
可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】51：函数的性质及应用． 设圆的圆心（a，0），则 ，解得a= ，
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
圆的半径为： ，
【解答】解：∵f（x）=xln（x+ ）为偶函数，
所求圆的方程为：（x﹣ ）2+y2= ．
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+ ）=xln（x+ ）， 故答案为：（x﹣ ）2+y2= ．
∴﹣ln（﹣x+ ）=ln（x+ ），
∴ln（﹣x+ ）+ln（x+ ）=0，
∴ln（ +x）（ ﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．
14．（5分）一个圆经过椭圆 =1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程
15．（5分）若x，y满足约束条件 ．则 的最大值为 3 ．
为 （ x﹣ ） 2 + y 2 = ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【考点】K3：椭圆的标准方程．
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【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 的最大
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 【解答】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
设k= ，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
由图象知OA的斜率最大，
∴设AD= x，AE= x，DE= x，CD=m，
由 ，解得 ，即A（1，3），
∵BC=2，
k = =3，
OA ∴（ x+m）sin15°=1，
即 的最大值为3．
∴ x+m= + ，
故答案为：3．
∴0＜x＜4，
而AB= x+m﹣ x= + ﹣ x，
∴AB的取值范围是（ ﹣ ， + ）．
故答案为：（ ﹣ ， + ）．
方法二：
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结
合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 （ ﹣ ，
+ ） ．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
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【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．
【分析】如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，设 AD= x，AE= x，DE= x，CD=m，求出 倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边
形；
x+m= + ，即可求出AB的取值范围． 当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为 ﹣ ； 则{a }是首项为3，公差d=2的等差数列，
n
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为 + ； ∴{a }的通项公式a =3+2（n﹣1）=2n+1：
n n
故答案为：（ ﹣ ， + ）． （Ⅱ）∵a =2n+1，
n
∴b = = = （ ﹣ ），
n
∴数列{b }的前n项和T= （ ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）= ．
n n
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄
【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档 平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
题． （Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
三、解答题：
17．（12分）S 为数列{a }的前n项和，已知a ＞0，a 2+2a =4S +3
n n n n n n
（I）求{a }的通项公式：
n
（Ⅱ）设b = ，求数列{b }的前n项和．
n n
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
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【专题】54：等差数列与等比数列． 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．
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【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a }的通项公式： 【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
n
【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到 EG⊥平
（Ⅱ）求出b = ，利用裂项法即可求数列{b }的前n项和．
n n
面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
【解答】解：（I）由a 2+2a =4S +3，可知a 2+2a =4S +3
n n n n+1 n+1 n+1 （Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G
两式相减得a 2﹣a 2+2（a ﹣a ）=4a ，
n+1 n n+1 n n+1 ﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．
即2（a +a ）=a 2﹣a 2=（a +a ）（a ﹣a ），
n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n 【解答】解：（Ⅰ）连接BD，
∵a ＞0，∴a ﹣a =2，
n n+1 n 设BD∩AC=G，
∵a 2+2a =4a +3，
1 1 1 连接EG、EF、FG，
∴a =﹣1（舍）或a =3，
1 1在菱形ABCD中，
不妨设BG=1，
由∠ABC=120°，
可得AG=GC= ，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG= ，且EG⊥AC，
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和
在直角△EBG中，可得BE= ，故DF= ， 异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．
在直角三角形FDG中，可得FG= ，
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）
对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE= ，FD= ，可得EF= = ， i
y（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
i
从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，
（或由tan∠EGB•tan∠FGD= • = • =1，
可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）
AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG 平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，
⊂
建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣ ，0），E（1，0， ），
F（﹣1，0， ），C（0， ，0）， （x﹣ （w﹣ （x﹣ （w﹣
i i i i
）2 ）2 ）（y﹣ ）（y﹣
i i
即有 =（1， ， ）， =（﹣1，﹣ ， ）， ） ）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
故cos＜ ， ＞= = =﹣ ．
表中w= ， =
i i
则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为 ．
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程
类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
当 = =6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u v ），（u v ）…..（u v ），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
1 1 2 2 n n
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
计分别为： = ， = ﹣ ．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【分析】（I）联立 ，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y= ，利用导数的运算法则可得：
【考点】BK：线性回归方程．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， y′= ，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（Ⅱ）先建立中间量w= ，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x ，y ），N（x ，
1 1 2
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
y ），直线PM，PN的斜率分别为：k ，k ．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利
2 1 2
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程 用根与系数的关系、斜率计算公式可得 k +k = ．k +k =0 直线 PM，PN 的倾斜角互补
1 2 1 2
类型；
⇔
∠OPM=∠OPN．即可证明．
（Ⅱ）令w= ，先建立y关于w的线性回归方程，由于 = =68，
⇔
【解答】解：（I）联立 ，不妨取M ，N ，
= ﹣ =563﹣68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为 =100.6+68w，
由曲线C：y= 可得：y′= ，
因此y关于x的回归方程为 =100.6+68 ，
∴曲线C在M点处的切线斜率为 = ，其切线方程为：y﹣a= ，化为 ．
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值 =100.6+68 =576.6，
同理可得曲线C在点N处的切线方程为： ．
年利润z的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32， （II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值 =0.2（100.6+68 ）﹣x=﹣x+13.6 +20.12， 设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x ，y ），N（x ，y ），直线PM，PN的斜率分别为：k ，
1 1 2 2 1k ． 讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．
2
【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．
联立 ，化为x2﹣4kx﹣4a=0， 设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x ，0），则f（x ）=0，f′（x ）=0，
0 0 0
∴x +x =4k，x x =﹣4a． ∴ ，解得 ，a= ．
1 2 1 2
∴k +k = + = = ．
1 2
因此当a=﹣ 时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
当b=﹣a时，k +k =0，直线PM，PN的倾斜角互补，
1 2 （ii）当x （1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，
∴∠OPM=∠OPN．
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
∈
∴点P（0，﹣a）符合条件．
故h（x）在x （1，+∞）时无零点．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问
∈
当x=1时，若a≥﹣ ，则f（1）=a+ ≥0，
题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题． ∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；
若a＜﹣ ，则f（1）=a+ ＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h
21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+ ，g（x）=﹣lnx
（x）的零点；
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线； 当x （0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论 ①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，
∈
h（x）零点的个数．
而f（0）= ，f（1）=a+ ，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用． ②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在 内单调递减，在 内单调递增，故当x=
【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x ，0），则f（x ）=0，f′（x ）
0 0 0
=0解出即可． 时，f（x）取得最小值 = ．
（ii）对x分类讨论：当x （1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g
若 ＞0，即 ，则f（x）在（0，1）内无零点．
（x）}≤g（x）＜0，即
∈
可得出零点的个数．
当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣ ，a＜﹣ ，即可得出零点的个数； 若 =0，即a=﹣ ，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
当x （0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类
∈若 ＜0，即 ，由f（0）= ，f（1）=a+ ， （Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2= ，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
∴当 时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a 时，f（x）在（0，1）内有
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
一个零点．
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
综上可得：a＜ 时，函数h（x）有一个零点． 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
当 时，h（x）有一个零点；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
当a= 或 时，h（x）有两个零点； 由已知得AB=2 ，BE= ，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
当 时，函数h（x）有三个零点．
∴x2= ，即x4+x2﹣12=0，
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的
单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 解方程可得x=
∴∠ACB=60°
选修4一1:几何证明选讲
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
选修4一4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C ：x=﹣2，圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原
1 2
点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明． （Ⅰ）求C ，C 的极坐标方程；
1 2
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【专题】5B：直线与圆．
（Ⅱ）若直线C 的极坐标方程为θ= （ρ R），设C 与C 的交点为M，N，求△C MN的面积．
3 2 3 2
【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
∈【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 选修4一5：不等式选讲
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【专题】5S：坐标系和参数方程． 24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C ，C 的极坐标方程． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
1 2
（Ⅱ）把直线 C 的极坐标方程代入 ρ2﹣3 ρ+4=0，求得 ρ 和 ρ 的值，结合圆的半径可得 （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
3 1 2
C M⊥C N，从而求得△C MN的面积 •C M•C N的值．
2 2 2 2 2 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C ：x=﹣2 的 【专题】59：不等式的解法及应用．
1
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， 【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每
故C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为： 个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数 f（x）的解析式，求得它的图象与x
2
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1， 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
（Ⅱ）把直线C 的极坐标方程θ= （ρ R）代入
3
圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， ∈ 即 ①，或 ②，
2
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ =2 ，ρ = ， 或 ③．
1 2
∴|MN|=|ρ ﹣ρ |= ，由于圆C 的半径为1，∴C M⊥C N，
1 2 2 2 2
解①求得x ，解②求得 ＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
△C MN的面积为 •C M•C N= •1•1= ．
2 2 2
∈∅
综上可得，原不等式的解集为（ ，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|= ，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （ ，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
可得 [2a+1﹣ ]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
