2015年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_上海高考数学真题02-21

绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数 的最小正周期为 . 2.设全集 .若集合 ， ， 则 . 3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 . 4.设 为 的反函数，则 . 5.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 . 6.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 . 7.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则 . 8. 方程 的解为 . 9. 若 满 足 ， 则 目 标 函 数 的 最 大 值 为 . 10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 12.已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的斜率 是 的一条渐近线的斜率的2倍，则 的方程为 . 13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大值是 . 14.已知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 . 二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一 律零分. 15. 设 、 ，则“ 、 均为 实数”是“ 是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 17. 已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则 点 的纵坐标为（ ）. A.B. C. D. 18. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极 限 ( ). A. B. C. D. 三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 如图，圆锥的顶点为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中点， 为劣弧 的中点.已知 ， ，求三棱锥 的体积，并求异面直线 与 所成角 的大小. 20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数 ，其中 为实数. （1）根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由； （2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两 警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时.乙到达 地 后原地等待.设 时乙到达 地； 时，乙到达 地. （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式， 并判断 在 上得最大值是否超过3？说明理由. 22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. [ ZXXK] 已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，设 的面积为 . （1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ； （2）设 ， ， ，求 的值； （3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变. 23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列 与 满足 ， . （1）若 ，且 ，求数列 的通项公式； {a } n （2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是 {a } n 最大项； （3）设 ， (nN) ，求 的取值范围，使得对任意 ， ， ，且.2015年上海市文科试题 一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数 的最小正周期为 . 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，所 以函数 的最小正周期为 . 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式. 2.设全集 .若集合 ， ，则 . 【答案】 【考点定位】集合的运算. 3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 . [ 【答案】 【考点定位】复数的概念，复数的运算. 4.设 为 的反函数，则 .【答案】 【解析】因为 为 的反函数， ，解得 ，所以 . 【考点定位】反函数，函数的值. 5.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 . 【答案】16 【解析】由题意， 是方程组 的解，所以 ，所 以 . 【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法. 6.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 . 【答案】4 【解析】依题意， ，解得 . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质. 7.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则 . 【答案】2 【解析】依题意，点 为坐标原点，所以 ，即 . 【考点定位】抛物线的性质，最值. 8. 方程 的解为 . 【答案】2【考点定位】对数方程. 9.若 满足 ，则目标函数 的最大值为 . 【答案】3 【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划. 10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120 【考点定位】组合，分类计数原理.11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】由 ，令 ，所以 ，所以常 数项为 . 【考点定位】二项式定理. [ 12.已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的斜率 是 的一条渐近线的斜率的2倍，则 的方程为 . 【答案】 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率. 13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大值是 . 【答案】【考点定位】平向量的模，向量垂直. 14.已知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且 ， 则 的最小值为 . 【答案】8 【解析】因为函数 对任意 ， ， ， 欲使 取得最小值，尽可能多的让 取得最高点，考虑 ， 按下图取值满足条件， 所以 的最小值为8. 【考点定位】正弦函数的性质，最值. 二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一 律零分. 15. 设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定. 16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ， 可能是正数、负数或零，所以由 可得 ，所以不等 式 解集相同的是 ，选B. 【考点定位】同解不等式的判断. 17. 已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的纵 坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式. 18. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极 限 ( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 是直线 与圆 在第一象限的交点， 而 是经过点 与 的直线的斜率，由于点 在圆 上. [ 网 ZXXK] 因为 ，所以 . 【考点定位】圆的切线，极限. 三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的 中点， 为劣弧 的中点.已知 ， ，求三棱锥 的体积，并求异面直 线 与 所成角的大小.【答案】 【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角. 21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数 ，其中 为实数. （1）根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由； （2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由. 【答案】（1） 是非奇非偶函数；（2）函数 在 上单调递增.【考点定位】函数的奇偶性、单调性. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两 警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）. 甲的路线是 ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时.乙到达 地 后原地等待.设 时乙到达 地； 时，乙到达 地. （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式， 并判断 在 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1） ， 千米；（2）不超过了3千米. 【解析】（1）根据条件知 ，设此时甲到达 A 点，并连接 ，如图所示，则 ， 所以在 中， 由 余 弦 定 理 得 （千米）. （2）可求得 ，设 小时后，且 ，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示， 所以 ， ， 所以在 中， 由余弦定理 ， 所以 ， ， 设 ， ，因为函数 的对称轴为 ，且 ， ， 所以 得最大值为 ，此时 的最大值为 ， 所以 在 上得最大值不超过3. 【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域. 22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，设 的面积为 . （1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ； （2）设 ， ， ，求 的值； （3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不 变. 【答案】（1）详见解析；（2） 或 ；（3） .（3）设 ，则 ，设 ， ， 由 ，的 ， 同理 ， 由（1）知， [ ，整理得 ， 由题意知 与 无关， 则 ，解得 . 所以 . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列 与 满足 ， . （1）若 ，且 ，求数列 的通项公式； {a } n （2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是 {a } n 最大项； （3）设 ， (nN) ，求 的取值范围，使得对任意 ， ，且 . 【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） . 【解析】（1）因为 ， ， a a 2(b b ) b 3n5 n1 n n1 n n 所以 ， a a 2(b b ) n1 n n1 n 所以 是等差数列，首项为 ，公差为6，即 . {a } n （2）由 ，得 ， 所以 为常数列， ，即 ，因为 ， ， 所以 ，即 ， 所以 的第 项是最大项. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单 调性.