文档内容
绝密★启用前
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
考生注意：
1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2. 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答
案直接写在试卷上。
一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4分，否则一律得零分。
1. 若 （i为虚数单位），则 。
2. 已知向量 的夹角为 ，且 = 。
3. 方程 的解x= 。
4. 若正四棱锥的底面边长为 ,体积为 ，则它的侧面与底面所成的二面角的大
小是 。
5. 在二项式 和 的展开式中，各项系数之和分别记为 、 ，n是正整
数，则 = 。
6. 已知圆 和圆外一点 ，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的
正切值是 。
7. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增
至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效
分中没有受贿裁判的评分的概率是 （结果用数值表示）
8. 抛物线 的焦点坐标是 。
9.某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天。工序 a b c d e f
紧前工序 — — a、b c c d、e
工时数（天） 2 3 2 5 4 1
10. 设函数 ，若 是偶函数，则t的一个可能值是 。
11. 若数列 中， （n是正整数），则数列的通项 。
12. 已知函数 （定义域为D，值域为A）有反函数 ，则方程
有解x=a，且 的充要条件是 满足 。
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选
对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零
分。
13. 如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 已知直线 、m，平面 、 ，且 ，给出下列四个命题。
（1）若 （2）
（3）若 ，则 （3）若
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15. 函数 的大致图象是（ ）16. 一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（ ）有一定的关系。图（1）表示某年12个
月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，
以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（ ）。
A. 气温最高时，用电量最多
A. 气温最低时，用电量最少
C. 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加。
D. 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。
三. 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，D是
线段 的中点，P是侧棱 上的一点，若 ，求 与底面 所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）
18. （本题满分12分）
已知点 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的
轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长。
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知函数
（1）当 时，求函数 的最大值与最小值。
（2）求实数a的取值范围，使 在区间 上是单调函数。
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场
内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范 [200,400) [400,500) [500,700) [700,900) …
围
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
（元）
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400元
的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为： （元），设购买商
品得到的优惠率 。试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在 （元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到
不小于 的优惠率？
21. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分。
已知函数 的图象过点 和 。
（1）求函数f(x)的解析式。
（2）记 ，n是正整数， 是数列 的前n项和，解关于n的不等式
；
（3）对于（2）中的 与 ，整数96是否为数列 中的项？若是，则求出相应
的项数；若不是，则说明理由。
22. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分。
规定 ，其中 ，m是正整数，且 ，这是组合数
（n,m是正整数，且 ）的一种推广。
（1）求 的值。
（2）设x>0，当x为何值时， 取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
① ；②
是否都能推广到 （ ，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并
给出证明；若不能，则说明理由。答案要点
说明：
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评
分标准的精神进行评分。
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数
之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一. （第1题至12题）
1. 2. 13 3. -1 4. 5. 6. 7.
8. （0，1） 9.11 10. 11.
12. ,且 的图象在直线 的下方，且与y轴
的交点为 。
二. （第13题至16题）
13. D 14. B 15. C 16. C
三. （第17题至第22题）
17. [解法一]
如图,以 点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有
设 ，则
因为
因为 平面AOB
是OP与底面AOB所成的角[解法二]取 中点E，连结DE、BE，则
平面
是BD在平面 内的射影。
又因为
由三垂线定理的逆定理，得
在矩形 中，易得
得
（以下同解法一）
18. [解] 设点C（x,y），则
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线
由
故点C的轨迹方程是
由 ，得
因为 ，所以直线与双曲线有两个交点。设 、 ，
则
故
19. [解] （1）当 时
时， 的最小值为1
时， 的最大值为37。
（2）函数 图象的对称轴为
因为 在区间 上是单调函数。
故 的取值范围是 或
20. [解] （1）
（2）设商品的标价为x元
则 ，消费额：
由已知得（I）
或（II）
不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为
因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于 的优惠率。
21. [解] （1）由 ，
得
故
（2）由题意
由 得 ，即
故
（3） ， ， ，
当 时，
当 时，
因此，96不是数列 中的项。
22. [解] （1）
（2）
因为
当且仅当 时，等号成立。
当 时， 取得最小值。
（3）性质（1）不能推广。
例如当 时， 有定义，但 无意义；
性质(2)能推广，它的推广形式是
，m是正整数，事实上
当m=1时，有
当 时，
[证明]（3）当 时，组合数当 时，
当x<0时，
