文档内容
绝密★启用前
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（ ）
1.函数 的反函数 ________________
2.方程 的解是___________________
3.直角坐标平面 中，若定点 与动点 满足 ，则点P的轨迹
方程是______________
4.在 的展开式中， 的系数是15，则实数 ______________
5.若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是____
6.将参数方程 （ 为参数）化为普通方程，所得方程是______
7.计算： ______________
8.某班有50名学生，其15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生，
他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示）
9.在 中，若 ， ， ，则 的面积S=_________
10.函数 的图像与直线 又且仅有两个不同的交点，
则 的取值范围是____________
11.有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面
三角形的三边长分别为 、 、
2 2
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，
在所有可能的情形中，全面积最小的一个是 a 4a 3a a 4a 3a
四棱柱，则 的取值范围是_______
5a 5a
12.用n个不同的实数 可得到
个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵对第 行 ，
记 例如：用1，2，3
可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以，
那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， ___________________
二、选择题（ ）
13.若函数 ，则该函数在 上是
(A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值
14.已知集合 ， ，则 等于
(A) (B)
(C) (D)
15.过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等
于5，则这样的直线
(A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条
(C)有无穷多条 (D)不存在
16. 设 定 义 域 为 为 R 的 函 数 ， 则 关 于 的 方 程
有7个不同的实数解得充要条件是
(A) 且 (B) 且
(C) 且 (D) 且
三、解答题
17.已知直四棱柱 中， ，底面
D C
1 1
是 直 角 梯 形 ， ， ， ，
A
1
， ，求异面直线 与 所成的角的大小 B
1
（结果用反三角函数表示）
C
D
A B
18.证明：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解
19.点A、B分别是椭圆 长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，
且位于x轴上方，
（1）求P点的坐标； y
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线 P
3
AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的
2
1
A o M F B x
-1
-2
-3距离d的最小值
20.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的
若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价
房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到那一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750
万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第
3小题满分6分
对定义域是 . 的函数 . ，
规定：函数
（1）若函数 ， ，写出函数 的解析式；
（2）求问题（1）中函数 的值域；
（3）若 ，其中 是常数，且 ，请设计一个定义域为R的函
数 ，及一个 的值，使得 ，并予以证明
22.在直角坐标平面中，已知点 ， ， ， ，其中n是
正整数对平面上任一点 ，记 为 关于点 的对称点， 为 关于点 的对称点，
为 关于点 的对称点
（1）求向量 的坐标；（2）当点 在曲线C上移动时，点 的轨迹是函数 的图像，其中 是以3
位周期的周期函数，且当 时， 求以曲线C为图像的函数在 上的
解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量 的坐标2005 年高考理科数学 上海卷 试题及答案
参考答案
1. 2. x=0 3. x+2y－4=0 4. － 5.
6. 7. 3 8. 9. 10.
11.
解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，
2 2
就是将上下底面对接，其全面积为 a 4a 3a a 4a 3a
5a 5a
②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为 所在的侧面重合，其
上下底面积之和都是 ，但侧面积分别为：
，
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：
由题意，得
解得
12.－1080
13. A 14. B 15. B 16.C D C
1 1
17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C 1 BA是异面直线BC 1 与DC 所 A 1
B
成的角.连结AC与AC,在Rt△ADC中,可得AC= . 1
1
又在Rt△ACC中,可得AC=3.
1 1
在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,
C
D
得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB= .
又在Rt△CBC中,可得BC= , A H B
1 1
在△ABC中,cos∠CBA= ,∴∠CBA=arccos
1 1 1
异面直线BC与DC所成角的大小为arccos
1 z
D 1 C 1
另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD所在
1 B
A 1
1
D C
y
A B
x直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C(0,1,2),B(2,4,0), ∴ =(－2,－3,2),
1
=(0,－1,0),设 与 所成的角为θ,
则cosθ= = ,θ= arccos .
异面直线BC与DC所成角的大小为arccos
1
18. [解] 原方程化简为 ,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1－i,
∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－ 且y=± ,
∴原方程的解是z=－ ± i.
19. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(x,y),则 ={x+6,y}, ={x－4,y},
由已知可得
则2x2+9x－18=0,解得x= 或x=－6.
由于y>0,只能x= ,于是y= .
∴点P的坐标是( , )
(2) 直线AP的方程是x－ y+6=0.
设点M(m,0),则M到直线AP的距离是 .
于是 = ,又－6≤m≤6,解得m=2.
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－ x2= (x－ )2+15,
由于－6≤m≤6, ∴当x= 时,d取得最小值
20. [解](1)设中低价房面积形成数列{a},由题意可知{a}是等差数列, 其中
n n
a=250,d=50,
1
则S=250n+ =25n2+225n,
n
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{b},由题意可知{b}是等比数列,其中b=400,q=1.08,
n n 1
则b=400·(1.08)n-1.
n
由题意可知a>0.85 b,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
n n
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
21. [解] (1)
(2) 当x≠1时, h(x)= =x－1+ +2,
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x－sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x－sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+ sin2x, α= ,
g(x)=f(x+α)= 1+ sin2(x+π)=1－ sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ sin2x)( 1－ sin2x)=cos4x.
22. [解](1)设点A(x,y), A为P关于点的对称点A的坐标为(2－x,4－y),
0 0 1 0
A为P关于点的对称点A的坐标为(2+x,4+y),
1 2 2
∴ ={2,4}.
(2) ∵ ={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(－
2,1]时,g(x)=lg(x+2)－4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
另解设点A(x,y), A(x,y),于是x－x=2,y－y=4,
0 2 2 2 2 2
若3< x≤6,则0< x－3≤3,于是f(x)=f(x－3)=lg(x－3).
2 2 2 2 2
当1< x≤4时, 则3< x≤6,y+4=lg(x－1).
2
∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
(3) = ,
由于 ,得
=2( )=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n－1})=2{ , }={n, }
