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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解为 ．
2．在等差数列 中，若 ，则 ．
3．设 ， 是纯虚数，其中 是虚数单位，则 ．
4．若 ， ，则y = ．
5．已知 的内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ．若 ，
则角 的大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数
分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．设常数 ．若 的二项展开式中 项的系数为-10，则 ．
8．方程 的实数解为 ．
9．若 ，则 ．
10．已知圆柱 的母线长为 ，底面半径为 ， 是上地面圆心， 、 是下底面圆心上
两个不同的点， 是母线，如图．若直线 与 所成角的大小
为 ，则 ．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表
示）．
12．设 是椭圆 的长轴，点 在 上，且 ．若
， ，则 的两个焦点之间的距离为 ．
13．设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围为 ．
14．已知正方形 的边长为1．记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、
、 ；以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 ．若且 ，则 的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数 的反函数为 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．设常数 ，集合 ， ．若 ，
则 的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
18．记椭圆 围成的区域（含边界）为 ，当点 分别在
上时， 的最大值分别是 ，则 （ ）
（A）0 （B） (C) 2 (D) 2
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
O
如图，正三棱锥 底面边长为 ，高为 ，
求该三棱锥的体积及表面积．
B A
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分
C
5分，第2小题满分9分． 第19题图
甲厂以 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产
条件要求 ），每小时可获得的利润是 元．
（1）求证：生产 千克该产品所获得的利润为 ；
（2）要使生产 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并
求此最大利润．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数 ，其中常数 ．（1）令 ，判断函数 的奇偶性并说明理由；
（2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再往上平移 个单位，得到
函数 的图像．对任意的 ，求 在区间 上零点个数的所
有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3
小题满分8分．
已知函数 ．无穷数列 满足 ．
（1）若 ，求 ， ， ；
（2）若 ，且 ， ， 成等比数列，求 的值；
（3）是否存在 ，使得 ， ， ，…， …成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不存在，说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3
小题满分9分．
如图，已知双曲线 ： ，曲线 ： ． 是平面内一点，
若存在过点 的直线与 、 都有公共点，则称
为“ 型点”．
（1）在正确证明 的左焦点是“ 型点”时，
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
（2）设直线 与 有公共点，求证 ，进
而证明原点不是“ 型点；（3）求证：圆 内的点都不是“ 型点”．2013年上海高考数学试题（文科）
参考答案
一． 填空题
1. 0＜ X＜
2. 15
3. -2
4. 1
5.
6. 78
7. -2
8.
9. -
10.
11.
12.
13.
14.-5
二．
选择题
题号 15 16 17 18
代号 A B A D
三． 解答题
19.解：由已知条件可知，正三棱锥 O-ABC 的底面△ABC 是边长
为2的正三角形。
经计算得底面△ABC的面积为
所以该三锥的体积为
设O’是正三角形ABC的中心
由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面ABC
延长AO’交BC于D，得AD= ,O’D=
又因为OO’=1，所以正三棱锥的斜高OD=
故侧面积为所以该三棱锥的表面积为
因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为3
20.解：
（1）生产a千克该产品，所用的时间是 小时
所获得的利润为100
所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a
元
（2）生产 900 千克该产品，获得的利润为 90000
，
1≤x≤10,记ƒ（x）=
则ƒ（x）=
获得最大利润90000 元。
因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润
457500元。
21. 解 ： （ 1 ） ƒ （ x ） = F （ x ） = ƒ （ x ） + ƒ
所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。
（2）ƒ（x）=
将 y= ƒ（x）的图像向左平移 个单位，再向上平移 1
个 单 位 后 得 到
令
因为 上零点个数为21
当 a 不 是 零 时 ，
上 恰 有 两 个零点，故在 上有20个零点。
综上，
22.解：（1）
（2）
①当 ＜
②当 ＞2时，
综合①②得
（3）假设这样的等差数列存在，那么
由
以下分情况讨论：
① 当 ＞2时，由（*）得 ＞2矛盾
② 当0＜ ≤2时，有（*）得 =1，从而
所以 是一个的等差数列
③ 当 ≤0时，则公差 ＞0，因此存
在m≧2使得 ＞2.此时
＜0，矛盾
综合①②③可知，当且仅当
23．解：
（1）C 的左焦点为 ，过F的直线 与C 交于 ，
1 1
与C 交于 ，故C 的左焦点为“C -C 型点”，且直线可
2 1 1 2
以为 ；
（2）直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须 ；
直线 与C 有交点，则
2
，若方程组有解，则必须
故直线 至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型
1 2 1 2
点”。
（3）显然过圆 内一点的直线 若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
根据对称性，不妨设直线 斜率存在且与曲线C 交于点 ，则
2直线 与圆 内部有交点，故
化简得， 。。。。。。。。。。。。①
若直线 与曲线C 有交点，则
1
化简得， 。。。。。②
由①②得，
但此时，因为 ，即①式不成立；
当 时，①式也不成立
综上，直线 若与圆 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2
即圆 内的点都不是“C -C 型点” ．
1 22013年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.不等式 ＜0的解为 .
【答案】
【解析】
2.在等差数列 中，若a+ a+ a+ a=30，则a+ a= 1 5 .
1 2 3 4 2 3
【答案】 15
【解析】
3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .
【答案】 -2
【解析】
4.已知 =0， =1，则y= 1 .
【答案】 1
【解析】
5.已知 ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是
.
【答案】
【解析】
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分
别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 7 8 .
【答案】 78
【解析】
7.设常数a∈R.若 的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .
【答案】 -2
【解析】8.方程 的实数解为 .
【答案】
【解析】
9.若cosxcosy+sinxsiny= ，则cos(2x-2y)= .
【答案】
【解析】
10.已知圆柱 的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个
不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为 ，则 = .
【答案】
【解析】
11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的
编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.
【答案】
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
C
12.设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 .若AB=4，BC= ，则 的两个焦
B
A D
点之间的距离为 .【答案】
【解析】 如右图所示。
13.设常数a＞0.若 对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】 考查均值不等式的应用。
14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 ；
以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 .若 i,j,k,l∈ 且
i≠j,k≠l，则 · 的最小值是 -5 .
【答案】 -5
【解析】 根据对称性，
。
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.函数 （x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）
（A） （B）－ （C）1+ （D）1－
【答案】 A
【解析】
选A
16.设常数a∈R，集合A= ，B= .若A∪B=R，则a的取值
范围为（ B ）
（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）
【答案】 B
【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，
综上，选B
标准解法如下:
.选B
17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】 A
【解析】
选A
当点（x,y）分别在 ， ，…上时，x+y的最大值分别是M,M,…，则 =( D )
1 2
（A）0 （B） （C）2 （D）
【答案】 D
【解析】
选D
三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
【答案】
【解析】所以，
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的
利润是100 元.
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a 元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此
最大利润.
【答案】 （1） 见下
（2）
当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
【解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间
小时，
所获得的利润
生产a千克该产品所获得的利润为100a 元；（证毕）
所以，
（2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润
由二次函数的知识可知，当 = ，即x=6时，
所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数 ，其中常数ω＞0.
（1）令ω=1，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数
y=g(x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.
【答案】 （1）
（2） 20,21
【解析】 （1）（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数
y=g(x):
.
所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个
22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题
满分8分.
已知函数 ，无穷数列 满足a =f(a),n∈N*
n+1 n
（1）若a=0，求a，a，a；
1 2 3 4
（2）若a＞0，且a，a，a 成等比数列，求a 的值.
1 1 2 3 1
（3）是否存在a ，使得a ，a ，…，a…成等差数列？若存在，求出所有这样的a ；若不
1 1 2 n 1
存在，说明理由.
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）
（2）
分情况讨论如何：
（ 3 ）
讨论如下:
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小
题满分9分.
如图，已知双曲线C: ，曲线C: .P是平面内一点.若存在过点P的直
1 2
线与C、C 都有共同点，则称P为“C-C 型点”.
1 2 1 2（1）在正确证明C 的左焦点是“C-C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一
1 1 2
条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C 有公共点，求证 ＞1，进而证明圆点不是“C-C 型点”；
2 1 2
（3）求证：圆 内的点都不是“C-C 型点”.
1 2
【答案】 （1）
【解析】 （1）
显然，由双
曲线 的几何图像性质可知，过 .从曲线 图像上取点
P(0,1),则直线 。这时直线方程为
（2） 先证明“若直线y=kx与 有公共点，则 ＞1”.
双曲线
.
.
所以直线y=kx与 有公共点，则 ＞1 . （证毕）
。
所以原点不是“C-C 型点”；（完）
1 2
（3）设直线 过圆 内一点，则直线 斜率不存在时与曲线 无交点。
设直线 方程为：y = kx + m，则：
假设直线 与曲线 相交上方，则
