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2021 年上海市夏季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1、已知 （其中 为虚数单位），则 ．
2、已知 则
3、若 ,则圆心坐标为
4、如图边长为3的正方形 则
5、已知 则
6.已知二项式 的展开式中， 的系数为 ，则 ________．
z
7、已知 ,目标函数 ，则 的最 大
值为
8、已知无穷递缩等比数列 的各项和为 则数列 的各项和为
9、在圆柱底面半径为 ,高为 , 为上底底面的直径,点 是下底底面圆弧上的一个动点，点 绕
着下底底面旋转一周，则 面积的范围
10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选 个去参观，则两人选择中恰有一个馆相
同的概率为________．
11、已知抛物线 ,若第一象限的点 在抛物线上，抛物线焦点为
则直线 的斜率为
12.已知 ，且对任意 都有 或 中有且
仅有一个成立， ， ，则 的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A. B. C. D.
14、已知参数方程 ,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）
15. 已
知 ，对于任意的 ，都存在 ，使得
成立，则下列选项中， 可能的值是（ ）
16、已知两两不同的 满足 ，
且 ， ， ， ，则下列选项中恒成立的是（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必
要的步骤)
17、如图，在长方体 中，
（1)若 是边 的动点，求三棱锥 的体积；（2)求 与平面 所成的角的大小.
18、在Δ 中，已知
（1)若 求Δ 的面积；（2)若 ,求Δ 的周长.
19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为 亿元，以后每个季度（一年有四个季度）
营业额都比前一季度多 亿元，该企业第一季度是利润为 亿元，以后每一季度的利润都比
前一季度增长 .
（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
20、已知 是其左右焦点， ,直线 过点 交 于 两点，
且 在线段 上.
（1)若 是上顶点， 求 的值；
（2)若 且原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（3)证明：证明：对于任意 总存在唯一一条直线使得 .
21、如果对任意 使得 都
有 ,则称 是 关联的.
（1)判断并证明 是否是 关联？是否是 关联？
（2) 是 关联的，在 上有 ,解不等式
；
（3)“ 是 关联的，且是 关联”当且仅当“ 是 关联的”．
2021 年上海市夏季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.已知 （其中 为虚数单位），则 ．
【思路分析】复数实部和虚部分别相加
【解析】：
【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．
2、已知 则
【思路分析】求出集合A，再求出【解析】： ，所以
【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3、若 ,则圆心坐标为
【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标
【解析】： 可以化为 所以圆心为
【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．
4、如图边长为3的正方形 则
【思路分析】利用向量投影转化到边上.
【解析】方法一：
方法二：由已知 ， ， ，
则 ；
【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；
5、已知 则
【思路分析】利用反函数定义求解.
【解析】由题意，得原函数的定义域为： ，结合反函数的定义，得 ，
解得 ，所以， ；
【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．
6.已知二项式 的展开式中， 的系数为 ，则 ________．
【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.
【解析】
【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数
幂运算；基础题。
z
7、已知 ,目标函数 ，则 的最
大值为
【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z的几何意义求最值.
【解析】如图，可行域的三个顶点为： 、 ， ，
结合直线方程与 的几何意义，得 ， ，则 ；
当
【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结
合思想；
8、已知无穷递缩等比数列 的各项和为 则数列 的各项和为
【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到 通项公式，根据特点求
和.
【解析】 ，
【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式；同时考查了学生的数学阅读与计算能力。
9、在圆柱底面半径为 ,高为 , 为上底底面的直径,点 是下底底面圆弧上的一个动点，点 绕
着下底底面旋转一周，则 面积的范围
【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求 面积的的方法；
【解析】由题意，当点 在下底底面圆弧上的运动时， 的底边
，
所以， 面积的取值与高 相关；
当 时， 最大为： ， 面积
的最大值为： ；
当 时， 最小为： ， 面积的最大值为： ；
所以， 面积的取值范围为： ；
【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等
价转化思想。
10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选 个去参观，则两人选择中恰有一个馆相
同的概率为________．
【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；
【解析】由题意 、 、 、 四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有： 种，则甲、乙两
个人每人选 个场馆的参观方法有： 种；
由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 种；
（或等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 种）；
（或等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有： 种；
甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有： 种；
所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 种）；
所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为： ；
【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、
组合题解之；有点“区分度”；
11、已知抛物线 ,若第一象限的点 在抛物线上，抛物线焦点为
则直线 的斜率为
【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；
【解析】方法一：如图，设 ， ，再由抛物线的定义结合
题设得 ， ，则 ，
又 ，解得 ，
H
则直线 的斜率为： ；
方法二：过 、 分别向准线引垂线，垂足为 、 ，
直线 与 轴的交点为 ，
由抛物线定义，得 ， ， 于 ，
则 ，又由已知 ，则 ，结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线 的斜率为： )
方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论”，弦长公式
，
即 ，解得 ，结合题设与图像 ，所以 ）
【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要
利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结
合与平面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出
斜率来；
12.已知 ，且对任意 都有 或 中有且
仅有一个成立， ， ，则 的最小值为________．
【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系；
【答案】31；
【解析】方法一：由题设，知： ；
或 中恰有一个成立；
或 中恰有一个成立；
…
或 中恰有一个成立；
则① ， ， ， ，
则 ，当 时， 的和为最小值为：
31；
② ， ， ， ，
则 ，当 时， 的和为最小值为：
32；
因此， 的最小值为：31）；
方法二：： 或 中恰有一个成立；等价为： 或 中恰有一
个成立；
或 中恰有一个成立；等价为： 或 中恰有一个成立；
…
或 中恰有一个成立；等价为： 或 中恰有一个成立；
又要求 的和为最小，所以，希望尽量出现1和2，
则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9；
因此， 的最小值为：31；）
方法三：：设 ， 或 恰好只有一个为1；
①
②
的最小值为
）
方法四：：由题设，知： ；由题设，得：再结合题设，要使 的和为最小，
①考虑按 ：
当且仅当 时，等号成立；
②考虑按 ：
当且仅当 时，等号成立；）
【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最
小”；进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻
辑推理核心素养，根据题设推理出1，2连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简
单但容易出错；
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】注意研究函数性质的方法；
【解析】排除法：B、C、D涉及函数都是增函数；
【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题；
14、已知参数方程 ,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）
【思路分
析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法；
【解析】方法一（特值法）：令 ，解得 ，代入参数方程，得
，
所以，方程对应的曲线一定过 、 、 ，故选B；
方法二：在方程对应的曲线上任取一点 ，对应的参数为： ，
由题意，得 ；当 时，代入已知的参数方程 ，得 ，
所以，点 也在方程对应的曲线上，
所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称；
取 ，代入参数方程，则 ， ，即点 在曲线上； ）
验证点 、 都不在曲线上；
因为，当 时， 或 ，
当 时， 或 ，所以，点 不在方程对应的曲线
上；
故，方程对应的曲线不关于 轴成对称；
因为，当 时， 或 ，
当 时， 或 ，所以，点 不在方程对应的曲线上；
故，方程对应的曲线不关于 轴成对称；故选B；
【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法1：
结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。
15.已知 ，对于任意的 ，都存在 ，使得
成立，则下列选项中， 可能的值是（ ）
【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”；
【解析】方法一：由题设 ，变形得 ，
又由题设“ 对任意的 ，都存在 使得 成
立”，
若设函数 对任意的 的值域为 ，
设函数 ， 的值域为 ，则 ，
又 因 为 ； 而 ， 当 时 ，
，
，而 符合题意；
方法二：由题意，得 ，解得 ，
又对于任意的 时， ，原问题，等价为：当 时，即 时， 取遍 能所有
的数；
所以，一定存在整数 ，
使得： 或者 ，
解得 或者 ，所以选D；）
方法三：
的可能值是 选D
【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以
集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查
了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。
16、已知两两不同的 满足 ，
且 ， ， ， ，则下列选项中恒成立的是（ ）
【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化
【解析】方法一：
方法二：举特例去选择， 代入
方法三：令 ，则由已知 ，
又由 （*），构造函数 ，
（*） 即为 ，结合函数图像，
，又函数在 递增，所以 ）
【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根
据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大；
三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)
17、如图，在长方体 中，
（1)若 是边 的动点，求三棱锥 的体积；（2)求 与平面 所成的角的大
小.
【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明 ，找到线面角度，再计
算
【解析】（1)如图1， ；
（2）如图2， 与平面
所成的角；在 中图1 图2
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、
逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18、在Δ 中，已知
（1)若 求Δ 的面积；（2)若 ,求Δ 的周长.
【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解 的值；再利用面积公式求Δ 的面积．
（2）根据 与 建立关于角度的三角方程，求解 的值，在求 ，
则根据正弦定理以及 ，则三边可求．
【解析】（1) ；
（2）
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查
了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为 亿元，以后每个季度（一年有四个季度）
营业额都比前一季度多 亿元，该企业第一季度是利润为 亿元，以后每一季度的利润都比
前一季度增长 .
（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加 亿元可以知道数列为一个等差数列，
求解20季度营业收入总额为即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式，
利用计算器计算求解不等式即可。
【解析】（1）设 为第 季度的营业额， 为利润，由题意得， 的首项为 亿元，
公差为 亿元, 2021到2025年，
所以
20季度营业收入总额为： （亿元）
（2）由已知得，
由已知的， 的首项为 亿元，公比为 即
,
所以 ，利用计算器991可得，
所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的
【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前 n项和公式的应用，考查了阅读理解能
力、计算能力，属于中档题．20、已知 是其左右焦点， ,直线
过点 交 于 两点，且 在线段 上.
（1)若 是上顶点， 求 的值；
（2)若 且原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（3)证明：对于任意 总存在唯一一条直线使得 .
【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及 建立关于 的方程；
（2）通过原点 到直线 的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与m
的函数关系，结合函数关系式判断 是否是唯一解使得 ；
【解析】（1) ；
（2）设 ；
设 原点 到直线 的距离
，
为
在线段 上，
（
（3）设 ，直线
，则 ，
联立直线与椭圆得
即 所 以
代入 ，所以 ，
，
即对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条；
【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题．
21、如果对任意 使得 都有 ,则称 是 关联的.
（1)判断并证明 是否是 关联？是否是 关联？
（2) 是 关联的，在 上有 ,解不等式
；
（3)“ 是 关联的，且是 关联”当且仅当“ 是 关联的”．
【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断；
（2）根据“ 是 关联”有： ；以及函数解析式作出函数图像，利用图
像解不等式；
（3）分为充分性、必要性两个方面证明；
【解析】 是
关联；
不是 关联；
（2) 是以3为周期的函数，然后就是要在 里面，
可以看出只有 两个周期中可以找到解,答案是
（3）充分性： ，且 递增
所以对于
成立。
必要性： ， ，
可以得到
故对 ，我们对 用 关联的条件得到
于是 .对于正整数 ，
则有 .也成立.
方法二：（1）①设 ， 且为 ，
且满足 ， 是 关联的.
②设 ， ，
故 不是 关联的.
（2）因为 是 关联的，所以当任意的 时， ，
又 时， ，函数图像如下图：
易知， ，∴原不等式的解为 即为 .（3）证明： 是 关联，可知对任意的 有 ，
是 关联，可知对任意的 有 ，为不减函数；
可以设
，
当 时， ，
当 时， ，
因为当 确定时， 是关于 的不减函数，所以 ，
有 是 关联.
②当 是 关联，有 ，∴ ，
当 ， 时，
假设 ，有 . ，
又∵ ，矛盾.
故只有 ，易得 .
利用 得 是 关联，
，
依次可得 ， ，
即当 ，有 ，
当在 时， ， .
【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时
考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题．
