文档内容
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）
1.函数 的最小正周期为 .
2.设全集 .若集合 ， ，
则 .
3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 .
4.设 为 的反函数，则 .
5.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 .
6.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 .
7.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则 .
8. 方程 的解为 .
9. 若 满 足 ， 则 目 标 函 数 的 最 大 值 为
.
10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，
则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
12.已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的斜率
是 的一条渐近线的斜率的2倍，则 的方程为 .
13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则
的最大值是 .
14.已知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且 ，则
的最小值为 .
二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一
律零分.
15. 设 、 ，则“ 、 均为
实数”是“ 是实数”的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
17. 已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则
点 的纵坐标为（ ）.
A.B.
C. D.
18. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极
限 ( ).
A. B.
C. D.
三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图，圆锥的顶点为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中点， 为劣弧
的中点.已知 ， ，求三棱锥 的体积，并求异面直线 与 所成角
的大小.
20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数 ，其中 为实数.
（1）根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由.
21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两
警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时.乙到达 地
后原地等待.设 时乙到达 地； 时，乙到达 地.
（1）求 与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式，
并判断 在 上得最大值是否超过3？说明理由.
22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
[ ZXXK]
已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，设
的面积为 .
（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；
（2）设 ， ， ，求 的值；
（3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积
保持不变.
23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知数列 与 满足 ， .
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
{a }
n
（2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是
{a }
n
最大项；
（3）设 ， (nN) ，求 的取值范围，使得对任意 ，
， ，且.
