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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的
空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． 函数 的最小正周期是 .
2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则 =___________.
3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
___________.
4. 设 若 ，则 的取值范围为_____________.
5. 若实数x,y满足xy=1,则 + 的最小值为______________.
6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函
数值表示）.
7. 已知曲线C的极坐标方程为 ，则C与极轴的交点到极点的距离
是 .
8. 设无穷等比数列{ }的公比为q，若 ，则q= .
9. 若 ，则满足 的 取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则
选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
11. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={ , },则 = .
12. 设常数 a 使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，则
.
13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量 表示小白玩游戏的得分.若 =4.2，则小白得
5分的概率至少为 .
14. 已知曲线C： ，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上
的点Q使得 ，则m的取值范围为 .
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
15. 设 ,则“ ”是“ ”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， 是上
底面上其余的八个点，则 的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
17. 已知 与 是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y
的方程组 的解的情况是（ ）（A）无论k， 如何，总是无解 （B)无论k， 如何，总有唯一解
（C）存在k， ，使之恰有两解 （D）存在k， ，使之有无穷多解
18. 若 是 的最小值，则 的取值范围为（ ）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
三．解答题（本大题共5题，满分74分）
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 ,其表面学科网展开图是三角形 ，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积 .
zxxk
20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数 ，函数
（1）若 =4，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端，
长35米， 长80米，设 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为
.
（1）设计中 是铅垂方向，若要求zxxk ，问 的长至多为多少（结果精
确到0.01米）？
（2）施 工 完 成 后 . 与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 学 科 网 实 测 得
求 的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题
满分8分.
在平面直角坐标系 中，对于直线 ： 和点 记
若 <0，则称点 被直线 分隔。若曲线C与直
线 没有公共点，且曲线C上存在点 被直线 分隔，则称直线 为曲线C的一条分隔
线.
⑴ 求证：点 被直线 分隔；
⑵若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；
⑶动点M到点 的距离与到 轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过
原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题
满分9分.
已知数列 满足 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是 公 比 为 等 比 数 列 ， ， zxxk
求 的取值范围；
（3）若 成等差数列，且 ，学科网求正整数 的最
大值，以及 取最大值时相应数列 的公差.上海数学（理）参考答案
一、
1. 2. 6 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.-1 12. 13. 14.
二、
15.B 16.A 17.B 18.D
19.解：∵由题得，三棱锥 是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面 是边长为2的正三角形
∴由题得， ，
又∵ 三点恰好在 构成的 的三条边上
∴
∴
∴ ，三棱锥 是边长为2的正四面
体
∴如右图所示作图，设顶点 在底面 内的投影为 ，连接
，并延长交 于
∴ 为 中点， 为 的重心， 底面
∴ ， ，
20.解：（1）由题得，
∴ ，
（2）∵ 且
∴①当 时， ，
∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数
②当 时， ， ，
∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数
③当 且 时，定义域为 ，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数21.解：（1）由题得，∵ ，且 ，
即 ，解得， ，∴ 米
（2）由题得， ，
∵ ，∴ 米
∵ ，∴ 米
22.证明：（1）由题得， ，∴ 被直线 分隔。
解：（2）由题得，直线 与曲线 无交点
即 无解
∴ 或 ，∴
证明：（理科）（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为 。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 。
联立方程， 。
令 ， ，显然 是开口朝上的二次函数
∴由二次函数与幂函数的图像可得， 必定有解，不符合题意，舍去
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 。
显然 与曲线 没有交点，在曲线 上找两点 。
∴ ，符合题意
综上所述，仅存在一条直线 是 的分割线。
证明：（文科）（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为 。
显然 与曲线 没有交点，在曲线 上找两点 。
∴ ，符合题意。∴ 是 的分割线。23.解：（1）由题得，
（理科）（2）由题得，∵ ，且数列 是等比数列， ，
∴ ，∴ ，∴ 。
又∵ ，∴当 时， 对 恒成立，满足题意。
当 时，
∴①当 时， ，由单调性可得， ，解得，
②当 时， ，由单调性可得， ，解得，
（理科）（3）由题得，∵ ，且数列 成等差数列， ，
∴ ，∴ ，∴
又∵ ，∴
∴ ，∴ ，解得， ，
∴ 的最大值为1999，此时公差为2014 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. （2014）函数 的最小正周期是 .
【解析】：原式＝ ，
2. （2014）若复数 ，其中 是虚数单位，则 .
【解析】：原式＝
3. （2014）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准
线方程为 .
【解析】：椭圆右焦点为 ，即抛物线焦点，所以准线方程
4. （2014）设 若 ，则 的取值范围为 .
【解析】：根据题意， ，∴
5. （2014）若实数 满足 ，则 的最小值为 .
【解析】：
6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与底面夹角的大小为
（结果用反三角函数值表示）.
【解析】：设圆锥母线长为 ，底面圆半径为 ，∵ ，∴ ，即
，∴ ，即母线与底面夹角大小为
7. （2014）已知曲线 的极坐标方程为 ，则 与极轴的交点到极
点的距离是 .【解析】：曲线 的直角坐标方程为 ，与 轴的交点为 ，到原点距离为
8. （2014）设无穷等比数列 的公比为 ，若 ，则
.
【 解 析 】 ： ， ∵ ， ∴
9. （2014）若 ，则满足 的 的取值范围是 .
【解析】： ，结合幂函数图像，如下图，可得 的取值范围是
10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 天中随机选择 天进行紧急疏散
演练，则 选择的 天恰好为连续 天的概率是 （结果用最简分数表示）.
【解析】：
11. （2014）已知互异的复数 满足 ，集合 ，则
.
【解析】：第一种情况： ，∵ ，∴ ，与已知条件矛盾，不
符；
第二种情况： ，∴ ，∴ ，即 ；
12. （2014）设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解 ，
则 .
【解析】：化简得 ，根据下图，当且仅当 时，恰有三个交点，
即13. （2014）某游戏的得分为 ，随机变量 表示小白玩该游戏的得分. 若
，则小白得 分的概率至少为 .
【解析】：设得 分的概率为 ，∴ ，
且 ，∴ ，与前式相减得：
，∵ ，∴ ，即
14. （2014）已知曲线 ，直线 . 若对于点 ，存在 上的
点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为 .
【解析】：根据题意， 是 中点，即 ，∵ ，∴
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. （2014）设 ，则“ ”是“ 且 ”的 （ ）
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
【解析】：B
16. （2014）如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四
棱柱， 是一条侧棱， 是上底 P P P
2 5 8
P P P
1 4 7
面上其余的八个点，则 的
P P
B 3 6
不同值的个数为 （ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) . A【解析】：根据向量数量积的几何意义， 等于 乘以 在 方向上的投影，
而 在 方向上的投影是定值， 也是定值，∴ 为定值 ，∴选A
17. （2014）已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，
则关于 和 的方程组 的解的情况是 （ ）
(A) 无论 如何，总是无解. (B) 无论 如何，总有唯一
解.
(C) 存在 ，使之恰有两解. (D) 存在 ，使之有无穷多解.
【解析】：由已知条件 ， ，
，∴有唯一解，选B
18. （2014）设 若 是 的最小值，则 的取值范围为
（ ）
(A) . (B) . (C) .
(D) .
【解析】：先分析 的情况，是一个对称轴为 的二次函数，当 时，
， 不 符 合 题 意 ， 排 除 AB 选 项 ； 当 时 ， 根 据 图 像
，即 符合题意，排除C选项；∴选D；
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19. （2014）(本题满分12分)
底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展开图是 P 3
三角形 ，如图. 求 的各边长及此三棱锥的
体积 . A C
P P
1 B 2
【解析】：根据题意可得 共线，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，同理 ，∴△ 是等边三角形， 是正四面体，所以△ 边长为4；
∴
20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设常数 ，函数 .
(1) 若 ，求函数 的反函数 ；
(2) 根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
【解析】：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
（2）若 为偶函数，则 ，∴ ，
整理得 ，∴ ，此时为偶函数
若 为奇函数，则 ，∴ ，
整理得 ，∵ ，∴ ，此时为奇函数
当 时，此时 既非奇函数也非偶函数
21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点
D
处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长
米， 长 米. 设点 在同一水平面上，
从 和 看 的仰角分别为 和 .
A C B
(1) 设计中 是铅垂方向. 若要求 ，
问 的长至多为多少（结果精确到 米）？
(2) 施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ， ，
求 的长（结果精确到 米）.
【解析】：（1）设 的长为 米，则 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
解得 ，∴ 的长至多为 米
（2）设 ， ，
则 ，解得 ，
∴ ，∴ 的长为 米
22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，
第3小题满分8分.
在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ，
记 . 若 ，则称点 被直线 分割. 若曲线 与直
线 没有公共点，且曲线 上存在点 被直线 分割，则称直线 为曲线 的一条分割
线.
(1) 求证：点 被直线 分割；
(2) 若直线 是曲线 的分割线，求实数 的取值范围；
(3) 动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 . 求证：
通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 的分割线.
【解析】：（1）将 分别代入 ，得
∴点 被直线 分割
（2）联立 ，得 ，依题意，方程无解，
∴ ，∴ 或
（3）设 ，则 ，
∴曲线 的方程为 ①
当斜率不存在时，直线 ，显然与方程①联立无解，
又 为 上两点，且代入 ，有 ，
∴ 是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为 ，代入方程得： ，
令 ，则 ，， ，
当 时， ，∴ ，即 在 之间存在实根，
∴ 与曲线 有公共点
当 时， ，即 在 之间存在实根，
∴ 与曲线 有公共点
∴直线 与曲线 始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线 是 的分割线
23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，
第3小题满分8分.
已知数列 满足 ， ， .
(1) 若 ，求 的取值范围；
(2) 设 是公比为 的等比数列， . 若 ， ，
求 的取值范围；
(3) 若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以及
取最大值时相应数列 的公差.
【解析】：（1）依题意， ，∴ ，又 ，∴
，
综上可得 ；
（2）由已知得 ，又 ，∴
当 时， ， ，即 ，成立
当 时 ， ， ， 即
，
∴ ，此不等式即 ，∵ ，
∴ ，
对于不等式 ，令 ，得 ，解得 ，
又当 时， ，
∴ 成立，
∴当 时 ， ， ， 即
，
即 ，
∵
∴ 时，不等式恒成立
综上， 的取值范围为
（3）设公差为 ，显然，当 时，是一组符合题意的解，
∴ ，则由已知得 ，
∴ ，当 时，不等式即 ，
∴ ， ，
∴ 时， ，
解得 ，∴ ，
∴ 的最大值为 ，此时公差
