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2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
1、考生注意
2、1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在
答题纸指定位置.
4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作
答一律不得分.
5、4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合 ，集合 ，则
2. 若排列数 ，则
3. 不等式 的解集为
4. 已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于
5. 已知复数 满足 ，则
6. 设双曲线 的焦点为 、 ， 为该
双曲线上的一点，若 ，则
7. 如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为
坐
标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为
8. 定义在 上的函数 的反函数为 ，若 为
奇函数，则 的解为
9. 已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则
事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
10. 已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，若对
于
任意 ， 的第 项等于 的第 项，则11. 设 、 ，且 ，则 的最小值等于
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 、 、 、 以及四个标记为“”
的
点在正方形的顶点处，设集合 ，点
，过 作直线 ，使得不在 上的“”的点
分布在 的两侧. 用 和 分别表示 一侧
和另一侧的“”的点到 的距离之和. 若过 的直
线 中有且只有一条满足 ，则 中
所有这样的 为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于 、 的二元一次方程组 的系数行列式 为（ ）
A. B. C. D.
14. 在数列 中， ， ，则 （ ）
A. 等于 B. 等于0 C. 等于 D. 不存在
15. 已知 、 、 为实常数，数列 的通项 ， ，则“存在
，
使得 、 、 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
16. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为 上的
动
点， 为 上的动点， 是 的最大值. 记 在 上， 在 上，
且 ，则 中元素个数为（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4
和2，侧棱 的长为5.
（1）求三棱柱 的体积；（2）设M是BC中点，求直线
与平面 所成角的大小.
18. 已知函数 ， .
（1）求 的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 ，角B所对边 ，若 ，求
△ABC的面积.
19. 根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位：
辆），
其中 ， ，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 （单位：
辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容
纳量？
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 为 上异于
上、下顶点的动点， 为x正半轴上的动点.
（1）若 在第一象限，且 ，求 的坐标；
（2）设 ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若 ，直线AQ与 交于另一点C，且 ， ，
求直线 的方程.21. 设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有
.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；
（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值.
函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6题每题 4分，
第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合 ,则 .
【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题
【答案】
2.若排列数 ,则 .
【解析】本题考查排列的计算，属于基础题
【答案】3
3.不等式 的解集为.
【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题
【答案】
4.已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于.
【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念， ,
所以 ，属于基础题
【答案】
5.已知复数 满足 ，则 .
【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， 设 ，
则 , ，属于基础题
【答案】
6.设双曲线 的焦点为 , 为该双曲线上的一点.若 ,则.
【 解 析 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质 ， （ 舍 ） ，
【答案】11
7.如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为
坐标轴，建立空间直角坐标系.若 的坐标为 ,则 的坐标是.
【解析】本题考查空间向量，可得 ,属于基础题
【答案】
8.定义在 上的函数 的反函数 .若 为奇函数，
则 的解为.
【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题
,所以 ,
当 时， ,所以
【答案】
9.已知四个函数：① ；② ；③ ；④ .从中任选2个，则事件
“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.
【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题
总的情况有： 种，符合题意的就两种：①和③，①和④【答案】
10.已知数列 和 ,其中 ， 的项是互不相等的正整数.若对于任意
中的第 项等于 中的第 项，则 .
【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题
由题意可得： ，
所以
【答案】2
11.设 ,且 ，则 的最小值等于.
【解析】考查三角函数的性质和值域，
，
要使 则
，
当 时成立
,
【答案】
12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 以及四个标记为“▲”的点在
正方形的顶点处.设集合 ，点 .过 作直线 ，使得不在 上的
“▲”的点分布在 的两侧.用 和 分别表示 一侧和另一侧的“▲”的点到
的距离之和.若过 的直线 中有且只有一条满足 ，则 中所有这样的
为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”
的点的坐标分别为 ,设过 点的直线为： ,
此时有向距离
且由
则 过 的 直 线 满 足 ; 此 时 , 直 线 为 ：
：
所以此时满足题意的直线为：
则过 的直线满足 ;此时有无数组解，例如：直线 ，直线 等都
满足题意.
则过 的直线满足 ;此时 ，直线为： ,
所以此时满足题意的直线为： .
则 过 的 直 线 满 足 ; 此 时 , 直 线 为 ：
：
所以此时满足题意的直线为：
【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只
有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小
方格涂黑.
13.关于 的二元一次方程组 的系数行列式 为（）
A． B． C． D．
【答案】C
14.在数列 ， 则 （）.
A．等于 B．等于0C．等于 D．不存在
【答案】B
15．已知 为实常数，数列 的通项 ，则“存在
,使得 成等差数列”的一个必要条件是（）
A． B． C． D．
【答案】A
16．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为 上的
动点， 为 上的动点， 是 的最大值.记 在 上， 在 上，
且 ，则 中（）
A．元素个数为2 B．元素个数为4 C．元素个数为8 D．含有无穷个元
素
【答案】D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答
题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边 和 的长分别为4和
2，侧棱 的长为5.
（1）求三棱柱 的体积；
（2）设 是 中点，求直线 与平面 所成角的大小。
【答案】（1）
（2）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）设 为锐角三角形，角 所对的边 ，角 所对的边 .若 ，
求 的面积.
【答案】（1）
（2）
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位：
辆），其中 .第 个月底的共享单车的保有量是前 个
月的累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 （单位：
辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容
纳量？
【答案】（1）935
（2） ，所以当 时 取最大值，为8782
此时 ，所以当 取最大值时，停放点
不能容纳
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 为 上异于上、
下顶点的动点. 为 正半轴上的动点.
（1）若 在第一象限，且 ，求 的坐标；
（2）设 .若以 为顶点的三角形是直角三角形，求 的横坐标；
（3）若 ,直线 与 交于另一点C，且 ， ，求直线
的方程.
【答案】（1） ；
（2） 或 或 ；
（3）
解析（3）∵点 是 上一动点，设 ， ， ， ，
，且 。
记线段 中点为点 ，则∵ ， ∴ ， ∴ ，
；
又 ，∴ ，∴ 是 中点，∴
又∵C是 上的一点，∴
∵ ，∴ 为等腰三角形， 为底边 中点，∴
∵ ， ，
∴
（1）若 ，则 ，由 不在上顶点可知， ， 为下顶点，
，
∴ ，无解；
（2） ，则 ，∴
∴
∴ 或 （舍），∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴直线AQ方程
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设定义在 上的函数 满足：对于任意的 ，当 时，都有
.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是周期函数，求证： 是常值函数；
（3）若 恒大于零. 是定义在 上的、恒大于零的周期函数， 是 的最大
值.函数 ，证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函
数”.
【答案】（1）记 ，若 ，
则 ，∵ ，∴ ，∴
（2）若 是周期函数，记其周期为 ，任取 ，则有
又由题意，对任意 , ，∴
又∵ ，并且
所以对任意 ， ，为常数，证毕。
（3）充分性：若 是常值函数，记 ，设 的一个周期为 ，则
，则对任意 ， ，
故 是周期函数成立。
必要性：若 是周期函数，记其一个周期为 。集合
任取 ，则必存在 ，使得 ，即
，
∴
因为 ， ，因此若必有 ，且 ，而由第（2）问证明可知
对任意 ， ，为常数。必要性证毕。
