文档内容
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.行列式 的值为_________.
2.双曲线 的渐近线方程为_________.
3.在 的二项展开式中， 项的系数为_________.（结果用数值表示）
4.设常数 ，函数 。若 的反函数的图像经过点 ，则
_________.
5.已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 _________.
6.记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _________.
7.已知 。若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则
_________.8.在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 、 是 轴上的两个动点，且
，则 的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随
机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9克的概率是_________.（结果用最简分数表
示）
10.设等比数列 的通项公式为 （ ），前 项和为 。若 ，
则 _________.
11.已知常数 ，函数 的图像经过点 、 。若
，则 _________.
12.已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则
的最大值为_________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
（A） （B） （C） （D）
14.已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A
1
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱
A
锥为阳马。设 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、
以 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
（A） （B） （C） （D）
16.设 是含数1的有限实数集， 是定义在 上的函数。若 的图像绕原点逆时
针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，半径为2. P
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（ 2 ） 设 ， 、 是 底 面 半 径 ， 且
O B
M
A， 为线段 的中点，如图，求异面直线 与 所成的角的大小。
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数 ，函数 。
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解。
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上
班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当 中 （ ）的成员
自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）
而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其
实际意义。
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数 ，在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，曲线
: （ ， ）， 与 轴交于点 ，与 交于点 。 、 分别是曲
线 与线段 上的动点。（1）用 表示点 到点 的距离；
（2）设 ， ，线段 的中点在直线 上，求 的面积；
（3）设 ，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，
求点 的坐标；若不存在，说明理由。
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
给定无穷数列 ，若无穷数列 满足：对任意 ，都有 ，则称
与 “接近”。（1）设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， 。判断数列 是
否与 接近，并说明理由；
（2）设数列 的前四项为： ， ， ， ， 是一个与 接
近的数列，记集合 ，求 中元素的个数 ；
（3）已知 是公差为 的等差数列。若存在数列 满足： 与 接近，且在
， ，…， 中至少有100个为正数，求 的取值范围。2018 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每
题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4分）（2018•上海）行列式 的值为 1 8 ．
【考点】OM：二阶行列式的定义．
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【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【解答】解：行列式 =4×5﹣2×1=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．
2．（4分）（2018•上海）双曲线 ﹣y2=1的渐近线方程为 ± ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，
最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线 的渐近线方程为y=±
∴双曲线 的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的
渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4 分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 21
（结果用数值表示）．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．
【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为
T = •xr，
r+1
令r=2，得展开式中x2的系数为 =21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
4．（4分）（2018•上海）设常数a R，函数f（x）=1og （x+a）．若f（x）的
2
反函数的图象经过点（3，1），则a∈= 7 ．
【考点】4R：反函数．
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【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3），
2
由此能求出a．
【解答】解：∵常数a R，函数f（x）=1og （x+a）．
2
f（x）的反函数的图象经过点（3，1），
∈
∴函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3），
2
∴log （1+a）=3，
2
解得a=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（4分）（2018•上海）已知复数 z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），
则|z|= 5 ．
【考点】A8：复数的模．
菁优网版权所有【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数
求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，
得 ，
则|z|= ．
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础
题．
6．（4 分）（2018•上海）记等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 a =0，
n n 3
a +a =14，则S = 1 4 ．
6 7 7
【考点】85：等差数列的前n项和．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数
列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a =﹣4，d=2，由此能求出
1
S ．
7
【解答】解：∵等差数列{a }的前n项和为S ，a =0，a +a =14，
n n 3 6 7
∴ ，
解得a =﹣4，d=2，
1
∴S =7a + =﹣28+42=14．
7 1
故答案为：14．
【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5分）（2018•上海）已知α {﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数
∈f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣ 1 ．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，
且a＜0，由此能求出a的值．
【解答】解：∵α {﹣2，﹣1， ，1，2，3}，
∈
幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求
解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，
0），E、F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 ﹣ 3 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．
【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，
或b=a+2，并可求得 ，将a=b+2带入上式即可求出 的最小值，
同理将b=a+2带入，也可求出 的最小值．
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴ ；
∴a=b+2，或b=a+2；
且 ；
∴ ；
当a=b+2时， ；
∵b2+2b﹣2的最小值为 ；∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以
及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克
砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克
的概率是 （结果用最简分数表示）．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然
后求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5克、3克、1克砝码各一个，2
克砝码两个，
从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，
所有的事件总数为： =10，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，
所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是： = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
10．（5分）（2018•上海）设等比数列{a }的通项公式为a =qn﹣1（n N*），前
n n
∈
n项和为S ．若 = ，则q= 3 ．
n
【考点】8J：数列的极限．
菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点
列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求
解公比即可．
【解答】解：等比数列{a }的通项公式为a =qn﹣1（n N*），可得a =1，
n 1
∈
因为 = ，所以数列的公比不是1，
，a =qn．
n+1
可得 = = = = ，
可得q=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列
的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）= 的图象经过点P
（p， ），Q（q， ）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
【解答】解：函数f（x）= 的图象经过点P（p， ），Q（q， ）．
则： ，整理得： =1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为：6
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．（5分）（2018•上海）已知实数x 、x 、y 、y 满足：x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，
1 2 1 2 1 1 2 2
x x +y y = ，则 + 的最大值为 + ．
1 2 1 2
【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．
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【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ）， =（x ，y ）， =（x ，y ），由圆的
1 1 2 2 1 1 2 2
方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB为等边三角形，AB=1，
+ 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
2
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
=（x ，y ）， =（x ，y ），
1 1 2 2
由x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，x x +y y = ，
1 1 2 2 1 2 1 2
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且 • =1×1×cos∠AOB= ，
即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+ 的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d 与d 之和，
1 2
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d= ，
可得2 =1，解得t= ，
即有两平行线的距离为 = ，
即 + 的最大值为 + ，
故答案为： + ．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查
点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题（本大题共有 4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确
选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆 =1上的动点，则 P到该椭圆的
两个焦点的距离之和为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，
转化求解即可．【解答】解：椭圆 =1的焦点坐标在x轴，a= ，
P是椭圆 =1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的
距离之和为2a=2 ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的
考查．
14．（5分）（2018•上海）已知a R，则“a＞1”是“ ＜1”的（ ）
∈
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．
【分析】“a＞1” “ ”，“ ” “a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
⇒ ⇒
【解答】解：a R，则“a＞1” “ ”，
∈ ⇒
“ ” “a＞1或a＜0”，
⇒
∴“a＞1”是“ ”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于
底面的四棱锥为阳马，设 AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六
1
棱柱的顶点为顶点、以 AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是
1
（ ）A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
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【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则 D ﹣A ABB ，D ﹣A AFF 满足题意，而
1 1 1 1 1 1
C ，E ，C，D，E，和D 一样，有2×6=12，
1 1 1
当A ACC 为底面矩形，有2个满足题意，
1 1
当A AEE 为底面矩形，有2个满足题意，
1 1
故有12+2+2=16
故选：D．
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于
中档题．
16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上
的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项
中，f（1）的可能取值只能是（ ）
A． B． C． D．0
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时
针旋转 个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= ， ，0时，此时得到的圆心角
为 ， ，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函
数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x= ，此时旋转 ，此
时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤.
17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如
图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；
LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距
离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4
能求出圆锥的体积．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．
【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线
长为4，
∴圆锥的体积V= =
= ．
（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，
M为线段AB的中点，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），
M（1，1，0），O（0，0，0），
=（1，1，﹣4）， =（0，2，0），
设异面直线PM与OB所成的角为θ，
则cosθ= = = ．
∴θ=arccos ．
∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos ．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，
考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．
18．（14分）（2018•上海）设常数a R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
∈
（2）若f（ ）= +1，求方程f（x）=1﹣ 在区间[﹣π，π]上的解．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．
【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，
∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，
∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，
∴2asin2x=0，
∴a=0；
（2）∵f（ ）= +1，
∴asin +2cos2（ ）=a+1= +1，∴a= ，
∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，
∵f（x）=1﹣ ，
∴2sin（2x+ ）+1=1﹣ ，
∴sin（2x+ ）=﹣ ，
∴2x+ =﹣ +2kπ，或2x+ = π+2kπ，k Z，
∈
∴x=﹣ π+kπ，或x= π+kπ，k Z，
∈
∵x [﹣π，π]，
∈
∴x= 或x= 或x=﹣ 或x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础
题．
19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成
员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式
通勤．分析显示：当 S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通
勤时间为
f（x）= （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回
答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤
时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，
并说明其实际意义．
【考点】5B：分段函数的应用．
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【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，
f（x）=2x+ ﹣90＞40，
即x2﹣65x+900＞0，
解得x＜20或x＞45，
∴x （45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0＜x≤30时，
∈
g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣ ；
当30＜x＜100时，
g（x）=（2x+ ﹣90）•x%+40（1﹣x%）= ﹣ x+58；
∴g（x）= ；
当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；
当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解
决问题的能力．
20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F
（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、
与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
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【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设 B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|
BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得
直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线k •k =﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点
PF FQ
坐标，根据 + = ，求得E点坐标，则（ ）2=8（ +6），即可求得
P点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2 t），
则|BF|= =t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2 t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|= ，∴Q（3， ），设OQ的中点D，
D（ ， ），
k = =﹣ ，则直线PF方程：y=﹣ （x﹣2），
QF
联立 ，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x= ，x=6（舍去），∴△AQP的面积S= × × = ；
（3）存在，设P（ ，y），E（ ，m），则k = = ，k =
PF FQ
，
直线 QF 方程为 y= （x﹣2），∴y = （8﹣2）= ，Q（8，
Q
），
根据 + = ，则E（ +6， ），
∴（ ）2=8（ +6），解得：y2= ，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（ ， ）．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，
计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{a }，若无穷数列{b }满足：对任意
n n
n N*，都有|b ﹣a |≤1，则称{b }与{a }“接近”．
n n n n
∈
（1）设{a }是首项为1，公比为 的等比数列，b =a +1，n N*，判断数列{b }
n n n+1 n
∈
是否与{a }接近，并说明理由；
n
（2）设数列{a }的前四项为：a =1，a =2，a =4，a =8，{b }是一个与{a }接近
n 1 2 3 4 n n
的数列，记集合M={x|x=b，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
i
（3）已知{a }是公差为d的等差数列，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n n
且在b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中至少有100个为正数，求d的取值范围．
2 1 3 2 201 200
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
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【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；
（2）由新定义可得a ﹣1≤b ≤a +1，求得b，i=1，2，3，4的范围，即可得到
n n n i
所求个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得a ，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤
n
﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）数列{b }与{a }接近．
n n
理由：{a }是首项为1，公比为 的等比数列，
n
可得a = ，b =a +1= +1，
n n n+1
则|b ﹣a |=| +1﹣ |=1﹣ ＜1，n N*，
n n
∈
可得数列{b }与{a }接近；
n n
（2）{b }是一个与{a }接近的数列，
n n
可得a ﹣1≤b ≤a +1，
n n n
数列{a }的前四项为：a =1，a =2，a =4，a =8，
n 1 2 3 4
可得b [0，2]，b [1，3]，b [3，5]，b [7，9]，
1 2 3 4
可能b 与b 相等，b 与b 相等，但b 与b 不相等，b 与b 不相等，
1∈ 2 ∈2 3 ∈ 1 3 ∈ 4 3
集合M={x|x=b，i=1，2，3，4}，
i
M中元素的个数m=3或4；（3）{a }是公差为d的等差数列，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n n
可得a =a +（n﹣1）d，
n 1
①若d＞0，取b =a ，可得b ﹣b =a ﹣a =d＞0，
n n n+1 n n+1 n
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中有200个正数，符合题意；
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②若d=0，取b =a ﹣ ，则|b ﹣a |=|a ﹣ ﹣a |= ＜1，n N*，
n 1 n n 1 1
∈
可得b ﹣b = ﹣ ＞0，
n+1 n
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中有200个正数，符合题意；
2 1 3 2 201 200
③若﹣2＜d＜0，可令b =a ﹣1，b =a +1，
2n﹣1 2n﹣1 2n 2n
则b ﹣b =a +1﹣（a ﹣1）=2+d＞0，
2n 2n﹣1 2n 2n﹣1
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中恰有100个正数，符合题意；
2 1 3 2 201 200
④若d≤﹣2，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n
即为a ﹣1≤b ≤a +1，a ﹣1≤b ≤a +1，
n n n n+1 n+1 n+1
可得b ﹣b ≤a +1﹣（a ﹣1）=2+d≤0，
n+1 n n+1 n
b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中无正数，不符合题意．
2 1 3 2 201 200
综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的
定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，
属于难题．
