文档内容
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 的解为 ．
2．在等差数列 中，若 ，则 ．
3．设 ， 是纯虚数，其中 是虚数单位，则 ．
4．若 ， ，则y = ．
5．已知 的内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ．若 ，
则角 的大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数
分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．设常数 ．若 的二项展开式中 项的系数为-10，则 ．
8．方程 的实数解为 ．
9．若 ，则 ．
10．已知圆柱 的母线长为 ，底面半径为 ， 是上地面圆心， 、 是下底面圆心上
两个不同的点， 是母线，如图．若直线 与 所成角的大小
为 ，则 ．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表
示）．
12．设 是椭圆 的长轴，点 在 上，且 ．若
， ，则 的两个焦点之间的距离为 ．
13．设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围为 ．
14．已知正方形 的边长为1．记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、
、 ；以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 ．若且 ，则 的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数 的反函数为 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．设常数 ，集合 ， ．若 ，
则 的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
18．记椭圆 围成的区域（含边界）为 ，当点 分别在
上时， 的最大值分别是 ，则 （ ）
（A）0 （B） (C) 2 (D) 2
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
O
如图，正三棱锥 底面边长为 ，高为 ，
求该三棱锥的体积及表面积．
B A
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分
C
5分，第2小题满分9分． 第19题图
甲厂以 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产
条件要求 ），每小时可获得的利润是 元．
（1）求证：生产 千克该产品所获得的利润为 ；
（2）要使生产 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并
求此最大利润．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数 ，其中常数 ．（1）令 ，判断函数 的奇偶性并说明理由；
（2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再往上平移 个单位，得到
函数 的图像．对任意的 ，求 在区间 上零点个数的所
有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3
小题满分8分．
已知函数 ．无穷数列 满足 ．
（1）若 ，求 ， ， ；
（2）若 ，且 ， ， 成等比数列，求 的值；
（3）是否存在 ，使得 ， ， ，…， …成等差数列？若存在，求出所有这样的
；若不存在，说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3
小题满分9分．
如图，已知双曲线 ： ，曲线 ： ． 是平面内一点，
若存在过点 的直线与 、 都有公共点，则称
为“ 型点”．
（1）在正确证明 的左焦点是“ 型点”时，
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
（2）设直线 与 有公共点，求证 ，进
而证明原点不是“ 型点；（3）求证：圆 内的点都不是“ 型点”．
