文档内容
绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题
纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的定义域是 ．
2．若直线 与直线 平行，则 ．
3．函数 的反函数 ．
4．方程 的解是 ．
5．已知 ，且 ，则 的最大值是 ．
6．函数 的最小正周期 ．
7．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是 （结果用数值表示）．
8．以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程
是 ．9．对于非零实数 ，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线 在 上的射影是直线 ， 在 上的射影是
直线 ．用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总能确定 与 是异
面直线的充分条件： ．
11．已知 为圆 上任意
一点（原点 除外），直线
的倾斜角为 弧度，记 ．
在右侧的坐标系中，画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么 的值分别是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．14．直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三
角形 中，若 ，则 的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
15．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，
总可推出 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｂ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
如图，在体积为1的直三棱柱 中，
C
B
． 求直线 与
1
1
A
1
平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
C B
A17．（本题满分14分）
在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ，
，求 的面积 ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆
瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装
量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，
要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电
池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，常数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，…， ，
即 （ ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设 是项数为7的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ，
．依次写出 的每一项；
（2）设 是项数为 (正整数 )的“对称数列”，其中
是首项为 ，公差为 的等差数列．记 各项的和为 ．当 为
何值时， 取得最大值？并求出 的最大值；
（3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，使得 依次是该数列中连续的项；当 时，
求其中一个“对称数列”前 项的和 ．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
我们把由半椭圆 与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中 ， ， ．
如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分y别是“果圆”
B
2
与 ， 轴的交点．
.
F
（1） 若 是边长为1的等边三角形， 2 .
A F A
O. x
1 0 2
F
1
B
1求“果圆”的方程；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的 值；若不存在，说明理由．
