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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的
空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． 函数 的最小正周期是 .
2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则 =___________.
3. 设常数 ，函数 ，若 ，则 .
4. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
___________.
5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙
齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20名学生，则高一、高二共抽
取的学生数为 .
6.若实数x,y满足xy=1,则 + 的最小值为______________.
7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函
数值表示）.
8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体
积之和等于 .9. 设 若 是 的最小值，则 的取值范围是 .
10.设无穷等比数列{ }的公比为q，若 ，则q= .
11．若 ，则满足 的 取值范围是 .
12. 方程 在区间 上的所有解的和等于 .
13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选
择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
14. 已知曲线C： ，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上
的点Q使得 ，则m的取值范围为 .
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
15. 设 ,则“ ”是“ ”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16. 已知互异的复数 满足 ，集合 ={ , },则 = （ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
17. 如图，四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则 的不同值的个数为
（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
18. 已知 与 是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y
的方程组 的解的情况是（ ）
（A）无论k， 如何，总是无解 （B)无论k， 如何，总有唯一解
（C）存在k， ，使之恰有两解 （D）存在k， ，使之有无穷多解
三．解答题（本大题共5题，满分74分）
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 , zxxk其表面展开图是三角形 ，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积 .
20.（本题满分14分）本题有2个小题，学科网第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数 ，函数
（1）若 =4，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端，
长35米， 长80米，设 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为
.
（1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少学科网（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后. 与铅垂方向有偏差，现在实测得zxxk
求 的长（结果精确到0.01米）？
22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题
满分8分.
在平面直角坐标系 中，对于直线 ： 和点 记
若 <0，则称点 被直线 分隔。若曲线C与直
线 没有公共点，且曲线C上存在点 被直线 分隔，则称直线 为曲线C的一条分隔
线.
⑴ 求证：点 被直线 分隔；
⑵若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；
⑶动点M到点 的距离与到 轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，
并证明 轴为曲线E的分隔线.
23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题
满分9分.
已知数列 满足 .
（1）若 ，求 的取值范围；zxxk
（2）若 是等比数列，且 ，求正整数 的最小值，学科网以及 取最小
值时相应 的公比；
（3）若 成等差数列，求数列 的公差的取值范围.上海数学（文）参考答案
一、
1. 2. 6 3. 3 4. 5.70 6. 7. 8.24
9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、
15. B 16.D 17.C 18.B
19.解：∵由题得，三棱锥 是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面 是边长为2的正三角形
∴由题得， ，
又∵ 三点恰好在 构成的 的三条边上
∴
∴
∴ ，三棱锥 是边长为2的正四面
体
∴如右图所示作图，设顶点 在底面 内的投影为 ，连接
，并延长交 于
∴ 为 中点， 为 的重心， 底面
∴ ， ，
20.解：（1）由题得，
∴ ，
（2）∵ 且
∴①当 时， ，
∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数
②当 时， ， ，
∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数
③当 且 时，定义域为 ，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数
21.解：（1）由题得，∵ ，且 ，即 ，解得， ，∴ 米
（2）由题得， ，
∵ ，∴ 米
∵ ，∴ 米
22.证明：（1）由题得， ，∴ 被直线 分隔。
解：（2）由题得，直线 与曲线 无交点
即 无解
∴ 或 ，∴
证明：（理科）（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为 。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 。
联立方程， 。
令 ， ，显然 是开口朝上的二次函数
∴由二次函数与幂函数的图像可得， 必定有解，不符合题意，舍去
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 。
显然 与曲线 没有交点，在曲线 上找两点 。
∴ ，符合题意
综上所述，仅存在一条直线 是 的分割线。
证明：（文科）（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为 。
显然 与曲线 没有交点，在曲线 上找两点 。
∴ ，符合题意。∴ 是 的分割线。
23.解：（1）由题得，（文科）（2）∵ ，且数列 是等比数列， ，
∴ ，∴ ，∴ 。
∴ ，∴ ，又∵ ，∴
∴ 的最小值为8，此时 ，即 。
（3）由题得，∵ ，且数列数列 成等差数列， ，
∴ ，∴ ，∴2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分．
（1）【2014年上海，文1，5分】函数 的最小正周期是 ．
【答案】
【解析】 ，所以 ．
（2）【2014年上海，文2，5分】若复数 ，其中i是虚数单位，则
．
【答案】6
【解析】 ．
（3）【2014年上海，文3，5分】设常数 ，函数 ，若 ，
则 ．
【答案】3
【解析】 ，所以 ，所以 ，故 ．
（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重
合，则该抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆 的右焦点右焦点为 ，故 ，故该抛物线的准线方程为
．
（5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、
800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若
高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
【答案】70
【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为 4:3:2，高三抽取的学生数为
20，故高一、高二共需抽取的学生数为 ．
（6）【2014年上海，文6，5分】若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由基本不等式可得 ，故 的最小值为 ．
（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的
角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】由题意可得， ，解得 ，记母线与轴所成的角为 ，则 ，即 ．
（8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的
三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
【答案】24
【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切
割掉的两个小长
方体的体积之和为2×3×2×2=24．
（9）【2014年上海，文9，5分】设 ，若 是 的
最小值，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ，当 时， ，因为 是 的最小值，故 ．
（10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列 的公比为 ，若
．
【答案】
【解析】因为无穷等比数列 的极限存在，所以 ，又因为
即 ，解得 ．
（11）【2014年上海，文11，5分】若 ，则满足 的 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， 即 ，在同一坐标系中作出
（ ）
的图象（如图），由图象可知，当 时， .故满足 的 的取
值范围是 ．
（12）【2014年上海，文12，5分】方程 在区间 上的所有解的和
等于 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以
， 所 以 由 可 得 或 ， 解 得
，所以 ．
（13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随
机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是
（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有 种方法，
从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故 ．（14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线 ，直线 ．若对于点
，存在C上的点P和l上的点Q使得 ，则m的取值范围为
．
【答案】
【解析】由题意可设 （ ），又因为 ，所以
点P、A、Q在一条直线上，且A点为线段PQ的中点．所以， ，
又 ，所以 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有
一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．
（15）【2014年上海，文15，5分】设 ，则“ ”是“ 且 ”的（
）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既
非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】由 不能推出 且 ，如 满足 ，但不能满足
且 ；如果 且 ，由不等式的性质可得 ；故“ ”是
“ 且 ”的必要非充分条件，故选B．
（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数 满足 ，集合 ，
则 （ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
【答案】D
【解析】（1）当 时， 可看作是 的根，此时 与 矛盾，故
舍去；
（2）当 时，可得 ，（*）因为 ，所以 ，所
以（*）即为 ，即 ，所以 ，此时
；
①当 时， ， 与 矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；
②当 时， ，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；
③当 时， ， 且满足集合的互异性，符合题意，
此时 ；
④当 时， ， 且满足集合的互异性，符合题意，
此时 ；
综上所述， ，故选D．
（17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，
是大正方形的一条边， 是小正方形的其余顶点，则
的不同值的个数为（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
【答案】C
【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则
， 故
，通过计算可得 的值有0,2,4,共3个，故选C．（18）【2014年上海，文18，5分】已知 与 是直线 （ 为常
数）上两个不同的点，则关于 和 的方程组 的解的情况是（ ）
（A）无论 如何，总是有解 （B）无论 如何，总有唯
一解
（C）存在 ，使之恰有两解 （D）存在 ，使之有无穷
多解
【答案】B
【解析】解法一：
由已知得 ，代入 得 解得 ，即
直线 与 恒交于点 （ 为常数），故选B．
解法二：
由 已 知 条 件 ， ，
，
∴有唯一解，故选B．
三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤．
（19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展
P
3
开图是三
角形 ，如图．求 的各边长及此三棱锥的体积 ．
解：根据题意可得 共线，∵ ， ， A C
∴ ， ∴ ， 同 理 ， ∴
是等
P 1 B P 2
边 三 角 形 ， 是 正 四 面 体 ， 所 以 边 长 为 4 ； ∴
．
（20）【2014年上海，文20，14分】设常数 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ．
……6分
（2）当 时， ，定义域为 ，故函数 是偶函数；当 时，
定义域为
， ，故函数 是奇函数；
当 时，
关于原点不对称，故函数 既不是奇函数，也不是
偶函数．……14分
（21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在 两地连线
D
上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 米，
A C B长 米． 设点 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 和 ．
（1）设计中 是铅垂方向． 若要求 ，问 的长至多为多少（结
果精确到 米）？
（2）施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ， ，求
的长（结果精确
到 米）．
解 ： （ 1 ） 设 的 长 为 米 ， 则 ， ∵ ， ∴
，∴ ，
∴ ，解得 ，∴ 的长至多为
米． ……6分
（2）设 ， ，则 ，
解得 ∴ ∴ 的长为
米．……14分
（22）【2014 年上海，文 22，16 分】在平面直角坐标系 中，对于直线
和点 ，记 ． 若
，则称点 被直线 分隔． 若曲线 与直线 没有公共点，且曲线 上存在
点 被直线 分隔，则称直线 为曲线 的一条分隔线．
（1）求证：点 被直线 分隔；
（2）若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；
（3）动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 ，
求 的方程，并证明
轴为曲线 的分隔线．
解：（1）将 分别代入 ，得 ，
∴ 点 被 直 线 分 隔 ．
……3分
（2）直线 与曲线 有公共点的充要条件是方程组 有解，
即 ．
因为直线 是曲线 的分隔线，故它们没有公共点，即 ．
当 时，对于直线 ，曲线 上的点 和 满足
，即点 和
被 分 隔 ． 故 实 数 的 取 值 范 围 是 ．
……9分
（ 3 ） 设 M 的 坐 标 为 ， 则 曲 线 E 的 方 程 为
．
对任意的 不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上
的点 对于轴满足 ，即点 被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分割线．
……16分
（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列 满足 ， ， ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是等比数列，且 ，求正整数 的最小值，以及 取最小值时
相应 的公比；
（3）若 成等差数列，求数列 的公差的取值范围．
解：（1）依题意， ，∴ ，又 ，∴ ，综上可
得 ．……3分
（ 2 ） 设 的 公 比 为 ． 由 ， 且 ， 得 ． 因 为
，所以 ．
从 而 ， 解 得 ． 时 ，
．
所 以 ， 的 最 小 值 为 8 ， 时 ， 的 公 比 为 ．
……9分
（3）设数列 的公差为 ．则 ，
①当 时， ，所以 ，即 ．
②当 时， 符合条件．
③ 当 时 ， ， 所 以 ，
，又 ，
所以 ．
综 上 ， 的 公 差 的 取 值 范 围 为 ．
……18分
