文档内容
2008年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•山东）满足M {a ，a ，a ，a }，且M∩{a ，a ，a }={a ，a }的集合
1 2 3 4 1 2 3 1 2
M的个数是（ ）
⊆
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）（2008•山东）设z的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ）
A．iB．﹣i C．±1 D．±i
3．（5分）（2008•山东）函数y=lncosx（ ）的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2008•山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值
为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
5．（5分）（2008•山东）已知 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2008•山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表
面积是（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
7．（5分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的
18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概
率为（ ）A． B． C． D．
8．（5分）（2008•山东）如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至
2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居
民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个
位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（
）
A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6
9．（5分）（2008•山东） 展开式中的常数项为（ ）
A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220
10．（5分）（2008•山东）4．设椭圆C 的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若
1
曲线C 上的点到椭圆C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为
2 1 2
（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
11．（5分）（2008•山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长
弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
12．（5分）（2008•山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，
使函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
A．[1，3 B．[2， C．[2，9 D．[ ，9
] ] ] ]
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•山东）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=
．14．（4分）（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若 f（x）dx=f（x ），
0
0≤x ≤1，则x 的值为 ．
0 0
15．（4分）（2008•山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 =（
，﹣1）， =（cosA，sinA）．若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B=
．
16．（4分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的
取值范围 ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2008•山东）已知函数
（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长
到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
18．（12分）（2008•山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，
答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答
对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总
得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙
队总得分”这一事件，求P（AB）．19．（12分）（2008•山东）将数列{a }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如
n
下数表：a a a a a a a a a a …记表中的第一列数a ，a ，a ，a ，…构成的数列为{b }，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 7 n
b =a =1．S 为数列{b }的前n项和，且满足 ．
1 1 n n
（Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
为同一个正数．当 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
20．（12分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面
ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E﹣AF
﹣C的余弦值．
21．（12分）（2008•山东）已知函数 ，其中n N*，
∈
a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．
22．（14分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上
任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，﹣2p）时， ．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其
中，点C满足 （O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．2008 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•山东）满足M {a ，a ，a ，a }，且M∩{a ，a ，a }={a ，a }的集合
1 2 3 4 1 2 3 1 2
M的个数是（ ）
⊆
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先根据M∩{a ，a ，a }={a ，a }可知a ，a 是M中的元素，a 不是M中的元素，
1 2 3 1 2 1 2 3
由子集的定义即可得出答案．
【解答】解：∵M∩{a ，a ，a }={a ，a }
1 2 3 1 2
∴a ，a 是M中的元素，a 不是M中的元素
1 2 3
∵M {a ，a ，a ，a }
1 2 3 4
∴M={a ，a }或M={a ，a ，a }，
1 2 1 2 4
⊆
故选B
2．（5分）（2008•山东）设z的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ）
A．iB．﹣i C．±1 D．±i
【分析】可设 ，根据 即得．
【解答】解：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算．可设 ，由
得4+b2=8，b=±2. 选D
3．（5分）（2008•山东）函数y=lncosx（ ）的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用函数 的奇偶性可排除一些选项，利用函数的
有界性可排除一些个选项．从而得以解决．
【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴ 是偶函数，
可排除B、D，
由cosx≤1 lncosx≤0排除C，
故选A．
⇒
4．（5分）（2008•山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值
为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x= ，可利用
这个性质快速解决问题
【解答】解：|x+1|、|x﹣a|在数轴上表示点x到点﹣1、a的距离，
他们的和f（x）=|x+1|+|x﹣a|关于x=1对称，
因此点﹣1、a关于x=1对称，
所以a=3
故选A
5．（5分）（2008•山东）已知 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解
再合并，约分整理，得到和要求结论只差π的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选C
6．（5分）（2008•山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表
面积是（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为
S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π
故选D．
7．（5分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的
18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意知本题是古典概型问题，试验发生的基本事件总数为C 3，选出火炬手编
18
号为a =a +3（n﹣1），分类讨论当a =1时可得4种选法；a =2时得4种选法；a =3时得4
n 1 1 1 1
种选法．
【解答】解：由题意知本题是古典概型问题，
∵试验发生的基本事件总数为C 3=17×16×3．
18
选出火炬手编号为a =a +3（n﹣1），
n 1
a =1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法；
1
a =2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法；
1
a =3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法．
1
∴ ．
故选B．
8．（5分）（2008•山东）如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至
2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居
民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个
位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（
）
A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6
【分析】平均数= ，总数的计算可分成个位数字的和，百位数字与十位数字的和
两部分分别计算．
【解答】解：
故选B．
9．（5分）（2008•山东） 展开式中的常数项为（ ）
A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．
【解答】解：
，
令 得r=9
∴ ．
故选项为C
10．（5分）（2008•山东）4．设椭圆C 的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若
1
曲线C 上的点到椭圆C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为
2 1 2
（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【分析】在椭圆C 中，由题设条件能够得到 ，曲线C 是以F （﹣5，0），F （5，
1 2 1 2
0），为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线C 的标准方程．
2
【解答】解：在椭圆C 中，由 ，得
1
椭圆C 的焦点为F （﹣5，0），F （5，0），
1 1 2
曲线C 是以F 、F 为焦点，实轴长为8的双曲线，
2 1 2
故C 的标准方程为： ﹣ =1，
2
故选A．
11．（5分）（2008•山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长
弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直
径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求
出即可．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，
由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|=2 =4 ，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=| AC|•|BD|= ×10×4 =20 ．
故选B
12．（5分）（2008•山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，
使函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
A．[1，3 B．[2， C．[2，9 D．[ ，9
] ] ] ]
【分析】先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系
画出其表示的平面区域，再利用函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点
即可解决问题．
【解答】解析：平面区域M如如图所示．
求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．
由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间．
当图象过B点时，a1=9，
∴a=9．
当图象过C点时，a3=8，
∴a=2．
故a的取值范围为[2，9=．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•山东）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n= 4 ．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的
作用是判断S= ＞0.8时，n+1的值．
【解答】解：根据流程图所示的顺序，
该程序的作用是判断S= ＞0.8时，n+1的值．
当n=2时，
当n=3时， ，
此时n+1=4．
故答案为：4
14．（4分）（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若 f（x）dx=f（x ），
0
0≤x ≤1，则x 的值为 ．
0 0
【分析】求出定积分∫ 1f（x）dx，根据方程ax 2+c=∫ 1f（x）dx即可求解．
0 0 0
【解答】解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x ）=∫ 1f（x）dx=[ +cx 1= +c．又∵f
0 0 0
（x ）=ax 2+c． ]
0 0
∴x 2= ，∵x [0，1 ∴x = ．
0 0 0
∈ ]
15．（4分）（2008•山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 =（
，﹣1）， =（cosA，sinA）．若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B= ．
【分析】由向量数量积的意义，有 ，进而可得A，再根据正弦
定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得
sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．【解答】解：根据题意， ，
由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
化简可得，sinC=sin2C，
则C= ，
则 ，
故答案为 ．
16．（4分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的
取值范围 5 ＜ b ＜ 7 ．
【分析】首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取
值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有参数b的解，使得解中只有
整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．
【解答】解：因为 ，
又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，
故有 ．
故答案为5＜b＜7．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2008•山东）已知函数
（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长
到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
【分析】（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ﹣ ），
利用偶函数的性质即f（x）=f（﹣x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x= 代入即
可．
（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得
函数g（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ） =
= ．
∵f（x）为偶函数，
∴对x R，f（﹣x）=f（x）恒成立，
∴ ∈ ．
即
整理得 ．
∵ω＞0，且x R，所以 ．
∈
又∵0＜φ＜π，故 ．
∴ ．
由题意得 ，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴ ．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横
坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象．
∴ ．
当 （k Z），
∈
即 （k Z）时，g（x）单调递减，
∈
因此g（x）的单调递减区间为 （k Z）．
∈
18．（12分）（2008•山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，
答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答
对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总
得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙
队总得分”这一事件，求P（AB）．
【分析】（1）由题意甲队中每人答对的概率均为 ，故可看作独立重复试验，故
，
（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，
有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分
别求概率，再取和即可．
【解答】解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
， ，
， ．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望为 ．
解法二：根据题设可知， ，
因此ξ的分布列为 ，k=0，1，2，
3．
因为 ，所以 ．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙
得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又
= ，
，
由互斥事件的概率公式得 ．
解法二：用A 表示“甲队得k分”这一事件，用B 表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，
k k
2，3．
由于事件A
3
B
0
，A
2
B
1
为互斥事件，故有P（AB）=P（A
3
B 0∪A
2
B
1
）=P（A
3
B
0
）+P
（A B ）．
2 1
由题设可知，事件A 与B 独立，事件A 与B 独立，因此P（AB）=P（A B ）+P
3 0 2 1 3 0
（A B ）=P（A ）P（B ）+P（A ）P（B ）=
2 1 3 0 2 1
．19．（12分）（2008•山东）将数列{a }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如
n
下数表：a a a a a a a a a a …记表中的第一列数a ，a ，a ，a ，…构成的数列为{b }，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 7 n
b =a =1．S 为数列{b }的前n项和，且满足 ．
1 1 n n
（Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
为同一个正数．当 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
【分析】（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公
式来寻求出路，得到Sn与SS 之间的递推关系，先求出S 的通项公式即可得证，接下来
n﹣1 n
求{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）由题意第一列数a ，a ，a ，a ，…构成的数列为{b }，b =a =1，又已知{b }的通项
1 2 4 7 n 1 1 n
公式和a 的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行
81
中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时， ，又S =b +b +…+b ，
n 1 2 n
所以 ，
又S =b =a =1．所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列．
1 1 1
由上可知 ， ．
所以当n≥2时， ．
因此
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为 ，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a }的前78项，故a 在表中第13行第三列，
n 81因此 ．又 ，所以q=2．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则 ．
20．（12分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面
ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E﹣AF
﹣C的余弦值．
【分析】（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只
要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已
知易我们不难得到结论．
（2）由EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，我们分析后可得PA的值，由（1）的
结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面
PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，然后我们解
三角形ASO，即可求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA 平面PAD，AD 平面PAD且PA∩AD=A，
⊂
所以AE⊥平面PAD．又PD 平面PAD，
⊂ ⊂
所以AE⊥PD．
⊂
解：（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中， ，
所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时 ，因此 ．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．
因为PA⊥平面ABCD，PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
⊂
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，
在Rt△AOE中， ， ，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中， ，
又 ，
在Rt△ESO中， ，
即所求二面角的余弦值为 ．
21．（12分）（2008•山东）已知函数 ，其中n N*，
∈
a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．
【分析】（1）欲求：“当n=2时， ”的极值，利用导
数，求其导函数的零点及单调性进行判断即可；
（2）欲证：“f（x）≤x﹣1”，令 ，利用导函
数的单调性，只要证明函数f（x）的最大值是x﹣1即可．
【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时， ，所以 ．（1）当a＞0时，由f'（x）=0得 ， ，
此时 ．
当x （1，x ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
1
当x （x ，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
1
∈
（2）当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
∈
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在 处取得极小值，极小值为 ．
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）证法一：因为a=1，所以 ．
当n为偶数时，
令 ，
则 （x≥2）．
所以当x [2，+∞）时，g（x）单调递增，
又g（2）=0，
∈
因此 恒成立，
所以f（x）≤x﹣1成立．
当n为奇数时，要证f（x）≤x﹣1，由于 ，所以只需证ln（x﹣1）≤x﹣1，
令h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1），
则 （x≥2），
所以当x [2，+∞）时，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）单调递增，又h（2）=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h（x）＞0，即ln（x﹣1）＜x﹣1命题成立．
∈
综上所述，结论成立．
证法二：当a=1时， ．
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有 ，
故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．令h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x [2，+∞），
则 ， ∈
当x≥2时，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．
故当x≥2时，有 ．
即f（x）≤x﹣1．
22．（14分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上
任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，﹣2p）时， ．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其
中，点C满足 （O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题意先设出A，B和M的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出AM，
BM的斜率，则直线AM和BM的直线方程可得，联立后整理求得2x =x +x ．推断出A，
0 1 2
M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，x =2代入抛物线方程整理推断出x ，x 是方程x2﹣4x﹣4p2=0的
0 1 2
两根，利用韦达定理求得x +x 的值，表示出直线AB的方程，利用弦长公式求得|AB|，进
1 2
而求得p，则抛物线的方程可得．
（Ⅲ）设出D点的坐标，进而表示出C的坐标，则CD的中点的坐标可得，代入直线AB
的方程，把D点坐标代入抛物线的方程，求得x ，然后讨论x =0和x ≠0时，两种情况，
3 0 0
分析出答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设
．
由x2=2py得 ，得 ，
所以 ， ．
因此直线MA的方程为 ，直线MB的方程为 ．
所以 ，① ．②
由①、②得 ，
因此 ，即2x =x +x ．
0 1 2
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x =2时，
0
将其代入①、②并整理得：x 2﹣4x ﹣4p2=0，x 2﹣4x ﹣4p2=0，
1 1 2 2
所以x ，x 是方程x2﹣4x﹣4p2=0的两根，
1 2
因此x +x =4，x x =﹣4p2，
1 2 1 2
又 ，
所以 ．
由弦长公式得 ．
又 ，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y．
（Ⅲ）解：设D（x ，y ），由题意得C（x +x ，y +y ），
3 3 1 2 1 2
则CD的中点坐标为 ，
设直线AB的方程为 ，
由点Q在直线AB上，并注意到点 也在直线AB上，
代入得 ．
若D（x ，y ）在抛物线上，则x 2=2py =2x x ，
3 3 3 3 0 3
因此x =0或x =2x ．
3 3 0
即D（0，0）或 ．
（1）当x =0时，则x +x =2x =0，此时，点M（0，﹣2p）适合题意．
0 1 2 0（2）当x ≠0，对于D（0，0），此时 ， = ，
0
又 ，AB⊥CD，
所以 ，
即x 2+x 2=﹣4p2，矛盾．
1 2
对于 ，因为 ，此时直线CD平行于y轴，
又 ，
所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以x ≠0时，不存在符合题意的M点．
0
综上所述，仅存在一点M（0，﹣2p）适合题意．
