文档内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分
150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，
0，2，3}
2.若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由
于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超
市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为
天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一
环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
的
5.若过点（2，1） 圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 ，在
俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A. B. C. D.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
9.设函数 ，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减
C. 偶函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减
是
10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
11.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存
在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满
足 的序列是（ ）A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1
名同学，则不同的安排方法共有__________种.
15.设复数 ， 满足 ， ，则 =__________
16.设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个
i i i i
样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1414.
19.已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的
1 2 1 2
顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
20.如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为
1 1 1 1 1
BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F.
1 1 1 1
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN
1 1 1 1 1 1 1
所成角的正弦值.
21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所
选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C ，C 参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t
1 2 1 2
的
为参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
