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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求.
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）设复数z ，z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z =2+i，则z z =（
1 2 1 1 2
）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
3．（5分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后
一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm），图中粗线画
出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体
毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A． B． C． D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t均为2，则输出的S=（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为
（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BCA=90°，M，N分别是A B ，A C 的
1 1 1 1 1 1 1中点，BC=CA=CC ，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
12．（5 分）设函数 f（x）= sin ，若存在 f（x）的极值点 x 满足 x 2+[f
0 0
（x ）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
0
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
15．（5分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣
1）＞0，则x的取值范围是 ．
16．（5 分）设点 M（x ，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得
0
∠OMN=45°，则x 的取值范围是 ．
0
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12分）已知数列{a }满足a =1，a =3a +1．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明{a + }是等比数列，并求{a }的通项公式；
n n
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ．18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千
元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭
人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： =， = ﹣ ．
20．（12分）设F ，F 分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C
1 2
上一点且MF 与x轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N．
2 1
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F N|，求a，b．
1
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O
相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ [0， ]
∈
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
