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2009 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5 分）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，
N={5，6，7}，则 （M∪N）=（ ）
U
A．{5，7} B．{2，4}
∁
C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}
2．（5分）函数y= （x≤0）的反函数是（ ）
A．y=x2（x≥0） B．y=﹣x2（x≥0） C．y=x2（x≤0） D．y=﹣x2
（x≤0）
3．（5分）函数y=log 的图象（ ）
2
A．关于直线y=﹣x对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣ ，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E为AA 中点，则异面
1 1 1 1 1 1
直线BE与CD 所形成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg ，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
8．（5分）双曲线 ﹣ =1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则
r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
9．（5分）若将函数y=tan（ωx+ ）（ω＞0）的图象向右平移 个单位长度后，与函数y=tan（ωx+ ）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有
1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，
F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、
西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图
所示的平面图形，则标“△”的面的方位（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5 分）设等比数列{a }的前 n 项和为 S ．若 a =1，S =4S ，则 a =
n n 1 6 3 4
．
14．（5分）（x ﹣y ）4的展开式中x3y3的系数为 ．
15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与
两坐标轴围成的三角形的面积= ．
16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平
面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于
．三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知等差数列{a }中，a a =﹣16，a +a =0，求{a }前n项和s ．
n 3 7 4 6 n n
18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）
+cosB= ，b2=ac，求B．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E分别为AA 、B C
1 1 1 1 1
的中点，DE⊥平面BCC ．
1
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B C与平面BCD所成的角的大小．
1
20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，
其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、
乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
22．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的
直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点 O到l的距离为
，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？若
存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
