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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
2．（5分）若为a实数，且 =3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分） =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）已知S 是等差数列{a }的前n项和，若a +a +a =3，则S =（ ）
n n 1 3 5 5
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A． B． C． D．
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0， ），C（2， ）则△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的
“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的
a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知等比数列{a }满足a = ，a a =4（a ﹣1），则a =（ ）
n 1 3 5 4 2
A．2 B．1 C． D．
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着
边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x
的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣ ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成
立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1）
C．（ ） D．（﹣∞，﹣ ，）
二、填空题
13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．（3分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为 ．15．（3分）已知双曲线过点 且渐近线方程为y=± x，则该双曲线的
标准方程是 ．
16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1
相切，则a= ．
三．解答题
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求 ．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B两地区分别随机调查了40
个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A地区用户满意度评分的频率
分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=16，BC=10，AA =8，点E，
1 1 1 1 1
F分别在A B ，D C 上，A E=D F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，
1 1 1 1 1 1
交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的
中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于
M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF的面积．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C ： （t为参数，t≠0），
1
其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=2sinθ，C ：ρ=2 cosθ．
3
（1）求C 与C 交点的直角坐标；
2 3
（2）若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求|AB|的最大值．
1 2 1 3
六、选修4-5不等式选讲
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则 + ＞ + ；
（2） + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
