文档内容
2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i（2+3i）=（ ）
A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选 2人参加社区服务，则选中的 2
人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
6．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x
7．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
8．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则
在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
9．（5分）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与
1 1 1 1 1
CD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
11．（5分）已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF ⊥PF ，
1 2 1 2
且∠PF F =60°，则C的离心率为（ ）
2 1A．1﹣ B．2﹣ C． D． ﹣1
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f
（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 ．
15．（5分）已知tan（α﹣ ）= ，则tanα= ．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成
角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =﹣7，S =﹣15．
n n 1 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并求S 的最小值．
n n18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个
线性回归模型．根据 2000年至2016年的数据（时间变量 t的值依次为 1，
2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据
（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为
AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l
与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）已知函数f（x）= x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参
数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i（2+3i）=（ ）
A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，
∴A∩B={3，5}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．
菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f（1）=e﹣ ＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进
行排除是解决本题的关键．
4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=2 ﹣
=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选 2人参加社区服务，则选中的 2
人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，
共有C 2=10种，其中全是女生的有C 2=3种，根据概率公式计算即可，
5 3
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数
为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为
AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从 2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区
服务，共有C 2=10种，其中全是女生的有C 2=3种，
5 3
故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其
中全是女生为AB，AC，BC共3种，
故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3，
故选：D．【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础
题．
6．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程
为（ ）
A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x
【考点】KC：双曲线的性质．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关
系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e= = ，
则 = = = = = ，
即双曲线的渐近线方程为y=± x=± x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐
近线的方程是解决本题的关键．
7．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
【考点】HR：余弦定理．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos = ，cosC=2× =﹣ ，
BC=1，AC=5，则AB= = = =4 ．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
8．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则
在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．
菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与
1 1 1 1 1
CD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标
1
系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值．
【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐
1
标系，
设正方体ABCD﹣A B C D 棱长为2，
1 1 1 1
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0），
=（﹣2，2，1）， =（0，﹣2，0），
设异面直线AE与CD所成角为θ，
则cosθ= = = ，
sinθ= = ，
∴tanθ= ．
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为 ．
故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．
菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤
+2kπ，k Z，得﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ，k Z，取k=0，得f（x）的一个减区
∈ ∈
间为[﹣ ， ]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣ sin（x﹣ ），
由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤ +2kπ，k Z，
∈
得﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ，k Z，
∈
取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣ ， ]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤ ．则a的最大值是 ．
故选：C．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属
于基本知识的考查，是基础题．
11．（5分）已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF ⊥PF ，
1 2 1 2
且∠PF F =60°，则C的离心率为（ ）
2 1
A．1﹣ B．2﹣ C． D． ﹣1
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率
即可．
【解答】解：F ，F 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF ⊥PF ，且
1 2 1 2
∠PF F =60°，可得椭圆的焦点坐标F （c，0），
2 1 2
所以P（ c， c）．可得： ，可得 ，可得e4﹣
8e2+4=0，e （0，1），
解得e= ．
∈
故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f
（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周
期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f
（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函
数的周期性是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 y=2x﹣2 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1的
导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y′= ，
当x=1时，y′=2
∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上
某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 9 ．
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等
式．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，
代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由 ，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中
档题．
15．（5分）已知tan（α﹣ ）= ，则tanα= ．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
【解答】解：∵tan（α﹣ ）= ，
∴tan（α ）= ，
则tanα=tan（α + ）= = = = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化
是解决本题的关键．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成
角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 8π ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；
5G：空间角．
【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然
后求解体积即可．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：
，解得SA=4，
SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2 ，圆锥的高为：2，
则该圆锥的体积为：V= =8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化
思想以及计算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =﹣7，S =﹣15．
n n 1 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并求S 的最小值．
n n
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．
菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据a =﹣7，S =﹣15，可得a =﹣7，3a +3d=﹣15，求出等差数
1 3 1 1
列{a }的公差，然后求出a 即可；
n n
（2）由 a =﹣7，d=2，a =2n﹣9，得 S = = =n2﹣8n=（n
1 n n
﹣4）2﹣16，由此可求出S 以及S 的最小值．
n n
【解答】解：（1）∵等差数列{a }中，a =﹣7，S =﹣15，
n 1 3∴a =﹣7，3a +3d=﹣15，解得a =﹣7，d=2，
1 1 1
∴a =﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
n
（2）∵a =﹣7，d=2，a =2n﹣9，
1 n
∴S = = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
n
∴当n=4时，前n项的和S 取得最小值为﹣16．
n
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和
公式，属于中档题．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个
线性回归模型．根据 2000年至2016年的数据（时间变量 t的值依次为 1，
2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据
（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】BK：线性回归方程．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t=19时 的值，根据模型②计算t=9时 的值即
可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增
的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①： =﹣30.4+13.5t，
计算t=19时， =﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿
元；
根据模型②： =99+17.5t，
计算t=9时， =99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年
上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为
AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，
又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面
ABC；
（ 2 ） 设 点 C 到 平 面 POM 的 距 离 为 d ． 由 V =V
P﹣OMC C﹣POM
⇒
，解得d即可
【解答】（1）证明：∵AB=BC=2 ，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三
角形，
又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；
（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO= ，
在△COM中，OM= = ．
S = × × = ，
S = = ．
△COM
设 点 C 到 平 面 POM 的 距 离 为 d ． 由 V =V
P﹣OMC C﹣POM
⇒
，解得d= ，
∴点C到平面POM的距离为 ．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l
与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦
点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= ，求得直线 AB的倾斜角，即
可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；
（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根
据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则 ，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x +x = ，x x =1，
1 2 1 2
由|AB|=x +x +p= +2=8，解得：k2=1，则k=1，
1 2
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛
物线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin2θ= ，∴θ= ，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程
为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x ，y ），则 ，
0 0
解得： 或 ，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦
公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）= x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数
的综合应用．
【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果．
（2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性．
【解答】解：（1）当a=3时，f（x）= x3﹣a（x2+x+1），
所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3 ，
当x （﹣∞，3﹣2 ），x （3+2 ，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
当x （3﹣2 时，f′（x）＜0，函数是单调递减，
∈ ∈
综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2 ），（3+2 ，+∞），上是增函数，在（3﹣2
∈
上递减．
（2）证明：因为x2+x+1=（x+ ）2+ ，
所以f（x）=0等价于 ，
令 ，
则 ，仅当x=0时，g′（x）=0，所以g（x）在R上是
增函数；
g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又因为f（3a﹣1）=﹣6a2+2a﹣ =﹣6（a﹣ ）2﹣ ＜0，
f（3a+1）= ＞0，
故f（x）有一个零点，
综上，f（x）只有一个零点．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能
力，转化思想的应用．（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参
数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进
行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数），
转换为直角坐标方程为： ．
直线l的参数方程为 （t为参数）．
转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： + =1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则： ，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
无解故舍去．
②当直线的斜率存在时，（由于t 和t 为A、B对应的参数）
1 2所以利用中点坐标公式 ，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，
直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|= ．
当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
