文档内容
2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的．
1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}
∈
C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}
2．（5分） =（ ）
A．2 B．2 C． D．1
3．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣3y的最小值是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C= ，则△ABC的
面积为（ ）
A．1+ + +
A．2 +2 B． C．2 ﹣2 D． ﹣1
B．1+ + +
5．（5 分）设椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 、F ，P 是 C 上的点
1 2
C．1+ + + +
PF ⊥F F ，∠PF F =30°，则C的离心率为（ ）
2 1 2 1 2
D．1+ + + +
A． B． C． D．
8．（5分）设a=log 2，b=log 2，c=log 3，则（ ）
3 5 2
6．（5分）已知sin2α= ，则cos2（α+ ）=（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，
A． B． C． D．
0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ）
则得到正视图可以为（ ））的图象重合，则φ= ．
A． B．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a }的公差不为零，a =25，且a ，a ，a 成等比数列．
n 1 1 11 13
C． D．
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则
（Ⅱ）求a +a +a +…+a ．
1 4 7 3n﹣2
l的方程为（ ）
A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1）
C．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） D．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1）
11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A． x R，f（x ）=0
0 0
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，D，E分别是AB，BB 的中点
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形 1 1 1 1
∃ ∈
（Ⅰ）证明：BC ∥平面A CD；
C．若x 是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x ）上单调递减 1 1
0 0
（Ⅱ）AA =AC=CB=2，AB= ，求三棱锥C﹣A DE的体积．
D．若x 是f（x）的极值点，则f′（x ）=0 1 1
0 0
12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．
13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ．
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 • = ．
15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以O为球心，OA为半径
的球的表面积为 ．
16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin（2x+19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润500元，未售
出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图， 20．（12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线
如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表 段长为2 ．
示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利 （Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
润．
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为 ，求圆P的方程．
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时 24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
请写清题号． 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
22．【选修4﹣1几何证明选讲】
（Ⅰ）
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的
点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆． （Ⅱ） ．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．已知动点P、Q都在曲线 （β为参数）上，对应参数分别为 β=α与β=2α（0＜α
＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
3．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣3y的最小值是（ ）
参考答案与试题解析
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
【考点】7C：简单线性规划．
求的． 菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣
∈
【分析】先画出满足约束条件： ，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点
3，﹣2，﹣1}
坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值．
【考点】1E：交集及其运算． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
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【专题】11：计算题．
由 得 ，
【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．
由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6．
【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
故选：B．
∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．
∈
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分） =（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【考点】A8：复数的模．
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【专题】11：计算题．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解： = = = ．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，
故选：C． 可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF |=x，在直角三角形PF F 中，依题意可求得|PF |与|F F |，利用椭圆离心率的性质
4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C= ，则△ABC的 2 1 2 1 1 2
即可求得答案．
面积为（ ）
【解答】解：|PF |=x，∵PF ⊥F F ，∠PF F =30°，
2 2 1 2 1 2
A．2 +2 B． C．2 ﹣2 D． ﹣1
∴|PF |=2x，|F F |= x，
1 1 2
又|PF |+|PF |=2a，|F F |=2c
1 2 1 2
【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理．
菁优网版权所有 ∴2a=3x，2c= x，
【专题】58：解三角形．
∴C的离心率为：e= = ．
【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的
值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF |与|PF |及|F F |是关键，考查理解与应用能力，属
【解答】解：∵b=2，B= ，C= ， 1 2 1 2
于中档题．
∴由正弦定理 = 得：c= = =2 ，A= ，
6．（5分）已知sin2α= ，则cos2（α+ ）=（ ）
∴sinA=sin（ + ）=cos = ， A． B． C． D．
则S = bcsinA= ×2×2 × = +1．
△ABC
【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．
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故选：B．
【专题】56：三角函数的求值．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握
【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算
正弦定理是解本题的关键．
即可求出值．
【解答】解：∵sin2α= ，
5．（5 分）设椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 、F ，P 是 C 上的点
1 2
∴cos2（α+ ）= [1+cos（2α+ ）]= （1﹣sin2α）= ×（1﹣ ）= ．
PF ⊥F F ，∠PF F =30°，则C的离心率为（ ）
2 1 2 1 2 故选：A．
A． B． C． D． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关
键．到本题答案．
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ） 【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行
第一次：S=1，
第二次：S=1+ ，
第三次：S=1+ + ，
第四次：S=1+ + + ．
此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．
∴S=1+ + +
故选：B．
A．1+ + +
B．1+ + +
C．1+ + + +
D．1+ + + +
【考点】EF：程序框图．
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【专题】27：图表型．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结
【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用 S+ 的
构，以及表格法的运用，属于基础题．
值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的 S值，由此即可得【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），
8．（5分）设a=log 2，b=log 2，c=log 3，则（ ） （1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的
3 5 2
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】4M：对数值大小的比较．
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【专题】11：计算题．
【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．
【解答】解：由题意可知：a=log 2 （0，1），b=log 2 （0，1），c=log 3＞1，
3 5 2
∈ ∈
所以a=log 2，b=log 2= ，
3 5 一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
所以c＞a＞b，
故选：A．
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．
9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，
【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空
0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，
间想象能力．
则得到正视图可以为（ ）
10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则
l的方程为（ ）
A． B．
A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1）
C．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） D．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1）
C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
菁优网版权所有 【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．C．若x 是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x ）上单调递减
方程联解消去x，得 ﹣y﹣k=0．再设A（x ，y ），B（x ，y ），由根与系数的关系和|AF| 0 0
1 1 2 2
D．若x 是f（x）的极值点，则f′（x ）=0
0 0
=3|BF|，建立关于y 、y 和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．
1 2
【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
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∴设直线l方程为y=k（x﹣1）
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，
由 消去x，得 ﹣y﹣k=0
y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；
设A（x ，y ），B（x ，y ）， 对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；
1 1 2 2
对于C：采用取特殊函数的方法，若取 a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究
可得y +y = ，y y =﹣4…（*）
1 2 1 2
其极值和单调性进行判断；
∵|AF|=3|BF|，
D：若x 是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x ）=0，正确．
0 0
∴y +3y =0，可得y =﹣3y ，代入（*）得﹣2y = 且﹣3y 2=﹣4， 【解答】解：
1 2 1 2 2 2
A、对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，
消去y 得k2=3，解之得k=
2
A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，
∴直线l方程为y= （x﹣1）或y=﹣ （x﹣1）
故 x R，f（x ）=0，故A正确；
0 0
故选：C．
∃ ∈
B、∵f（﹣ ﹣x）+f（x）=（﹣ ﹣x）3+a（﹣ ﹣x）2+b（﹣ ﹣x）+c+x3+ax2+bx+c= ﹣
+2c，
f（﹣ ）=（﹣ ）3+a（﹣ ）2+b（﹣ ）+c= ﹣ +c，
∵f（﹣ ﹣x）+f（x）=2f（﹣ ），
【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查
∴点P（﹣ ，f（﹣ ））为对称中心，故B正确．
了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，
对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1
11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x （﹣∞，﹣ ）∪（1，+∞）
A． x R，f（x ）=0
0 0
∈
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
∃ ∈【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．
由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x （﹣ ，1）
∈
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣ ），（1，+∞），减区间为：（﹣ ，1）， 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．
13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 0. 2 ．
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误；
D：若x 是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x ）=0，故D正确．
0 0
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
由于该题选择错误的，故选：C． 菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率
公式可得答案．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有 =10种情况，
和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，
故所求的概率为： =0.2
故答案为：0.2
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 • = 2 ．
12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法．
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【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ ）•（
【专题】59：不等式的解法及应用．
），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【分析】转化不等式为 ，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0，
【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以 ，
故 =（ ）•（ ）=（ ）•（ ）= ﹣ + ﹣
函数y= 是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
=4+0﹣0﹣ =2，
所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故答案为 2．
故选：D．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于
）的图象重合，则φ= ．
中档题．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
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15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以O为球心，OA为半径
【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质．
的球的表面积为 24π ．
【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为 y=cos[2（x﹣ ）+φ]的图象，即y=cos
【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．
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【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．
【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正
四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得． 【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，得平移后的图象
【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V= sh= （ × ）×OH= ， 的函数解析式为
y=cos[2（x﹣ ）+φ]=cos（2x+φ﹣π），
∴OH= ，
而函数y=sin（2x+ ）= ，
在直角三角形OAH中，OA= = =
由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin（2x+ ）的图
所以表面积为4πr2=24π；
象重合，得
故答案为：24π．
2x+φ﹣π= ，解得：φ= ．
符合﹣π≤φ＜π．
故答案为 ．
【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的
【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题． 公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin（2x+
17．（12分）已知等差数列{a }的公差不为零，a =25，且a ，a ，a 成等比数列．
n 1 1 11 13
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n（Ⅱ）求a +a +a +…+a ．
1 4 7 3n﹣2
【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）设等差数列{a }的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得， ，再利用
n
等差数列的通项公式可得 ，化为d（2a +25d）=0，解出d即可得到通
1
项公式a ；
n
（II）由（I）可得a =﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．
3n﹣2
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差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a +a +a +…+a ． 【专题】5F：空间位置关系与距离．
1 4 7 3n﹣2
【解答】解：（I）设等差数列{a }的公差为d≠0， 【分析】（Ⅰ）连接AC 交A C于点F，则DF为三角形ABC 的中位线，故DF∥BC ．再根据直线
n 1 1 1 1
和平面平行的判定定理证得
由题意a ，a ，a 成等比数列，∴ ，
1 11 13
BC ∥平面A CD．
1 1
∴ ，化为d（2a +25d）=0， （Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面 ABC为等腰直角三角形，由 D为AB的中点可得 CD⊥平面
1
ABB A ．求得CD的值，利用
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2． 1 1
∴a =25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27． 勾股定理求得A D、DE和A E的值，可得A D⊥DE．进而求得 的值，再根据三棱锥C﹣A DE
n 1 1 1 1
（II）由（I）可得a =﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等
3n﹣2 的体积
差数列．
为 • •CD，运算求得结果．
∴S =a +a +a +…+a =
n 1 4 7 3n﹣2
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC 交A C于点F，则F为AC 的中点．
1 1 1
= ∵直棱柱 ABC﹣A B C 中，D，E 分别是 AB，BB 的中点，故 DF 为三角形 ABC 的中位线，故
1 1 1 1 1
DF∥BC ．
=﹣3n2+28n． 1
由于DF 平面A CD，而BC 不在平面A CD中，故有BC ∥平面A CD．
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键． 1 1 1 1 1
⊂
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，D，E分别是AB，BB 的中点
1 1 1 1
（Ⅰ）证明：BC ∥平面A CD；
1 1
（Ⅱ）AA =AC=CB=2，AB= ，求三棱锥C﹣A DE的体积．
1 1（Ⅱ）∵AA =AC=CB=2，AB=2 ，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
1
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB A ，∴CD= = ． （Ⅰ）将T表示为X的函数；
1 1
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
∵A D= = ，同理，利用勾股定理求得 DE= ，A E=3．
1 1
【考点】B8：频率分布直方图．
再由勾股定理可得 +DE2= ，∴A D⊥DE． 菁优网版权所有
1
【专题】5I：概率与统计．
∴ = = ， 【分析】（I）由题意先分段写出，当 X [100，130）时，当X [130，150）时，和利润值，最后
利用分段函数的形式进行综合即可．
∈ ∈
∴ = • •CD=1．
（II）由（I）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120≤X≤150．再由直方图知需求量
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的 X [120，150]的频率为 0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于
数学思想，属于中档题． 57∈000元的概率的估计值．
【解答】解：（I）由题意得，当X [100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，
19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润500元，未售 当X [130，150]时，T=500×130=6
∈
5000，
出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，
∈
∴T= ．
如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表
示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．
润．
由直方图知需求量X [120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
∈
【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直
方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线 线上某点切线方程．
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段长为2 ． 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出 f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极
值点的定义，即可求出函数的极值；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为 ，求圆P的方程．
（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与 x轴交点的
横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．
【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），
【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点 P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求
令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．
故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心 P（x，y），由题意得圆心到 x轴的距离与半径之间的关系为 2=﹣
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）= ．
y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=﹣x2+r2，由两式整理得x2+3=y2+2，整理得
y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线
故f（x）的极小值和极大值分别为0， ．
（Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为 得， = ，即|x﹣y|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入
y2﹣x2=1解得P（0，﹣1）或P（0，1）
（Ⅱ）设切点为（ ），
若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为 ，所以圆P的方程为（y+1）2+x2=3；
若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为 ，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2=3； 则切线方程为y﹣ = （x﹣x 0 ），
综上，圆P的方程为（y+1）2+x2=3或（y﹣1）2+x2=3
【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质， 令y=0，解得x= = ，
解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程
∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，
21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x ∴ （ ＜0，
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
∴x ＜0或x ＞2，
0 0
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
令 ，
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲【分析】（1）已知 CD 为△ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及
则 = ．
BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC
①当x ＜0时， 0，即f′（x ）＞0，∴f（x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x ）
0 0 0 0 外接圆的直径；
＜f（0）=0； （2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径
的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线
②当x ＞2时，令f′（x ）=0，解得 ．
0 0
定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB表示即可．
当 时，f′（x ）＞0，函数 f（x ）单调递增；当 时，f′（x ）＜0，函数 f 【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
0 0 0
（x ）单调递减． ∵BC•AE=DC•AF，∴ ．
0
故当 时，函数f（x ）取得极小值，也即最小值，且 = ． ∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
0
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪ ．
∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；
【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综
（2）连接CE，∵∠CBE=90°，
合性强，考查了推理能力和计算能力．
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，
又BC2=DB•BA=2DB2，
选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时
∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．
请写清题号．
而DC2=DB•DA=3DB2，
22．【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的
故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值= = ．
点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径； 【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． 线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．
23．已知动点P、Q都在曲线 （β为参数）上，对应参数分别为 β=α与β=2α（0＜α
＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
【考点】NC：与圆有关的比例线段． （2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
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【专题】5B：直线与圆．【考点】QH：参数方程化成普通方程． 由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤ ．
【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；
（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．
（Ⅱ）因为 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，
【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．
故 + + +（a+b+c）≥2（a+b+c），即 + + ≥a+b+c．
M的轨迹的参数方程为 为参数，0＜α＜2π）．
所以 + + ≥1．
（2）M点到坐标原点的距离d= （0＜α＜2π）．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．
于中档题．
【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ） ．
【考点】R6：不等式的证明．
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【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1 （a+b+c）2=1 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可
得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；
⇒ ⇒
（Ⅱ）利用基本不等式可证得： +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，三式累加即可证得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
