文档内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分
150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，
0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2.若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】当 时， ，选项B错误；当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，
选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考
查学生的转化能力和计算求解能力.
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由
于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超
市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为
天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一
环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一
步得到 .
【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道
容易题.
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的
标准方程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到
直线 的距离.
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必 在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 距离均为 ；
的所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属
于中等题.
6.数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式
可得出关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考
查计算能力，属于中等题.
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 ，在
俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得 点在侧视图中对应的点.
【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图 点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根
据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于
两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方
程求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和
均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能
力和计算能力，属于中档题.
9.设函数 ，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减
C. 是偶函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性
的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断
出 单调递减，从而得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称
的前提下，根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范
围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所求距离 .
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；
解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
11.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个
选项中真数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函
数的单调性得到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存
在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满
足 的序列是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及
数学运算能力，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1
名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】【解析】
【分析】
根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，
即可求得答案.
【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区
至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使
用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15.设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ， ， 根 据 复 数 的 相 等 可 求 得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
【详解】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，化简得：
故答案为： .
【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，
将问题转化为三角函数的运算问题.
16.设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；
利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合
命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考
查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得 ；
（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的
最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结
合基本不等式构造不等关系求得最值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个
i i i i
样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数
学运算能力，是一道容易题.
19.已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的
1 2 1 2
顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）求出 、 ，利用 可得出关于 、 的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；
（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点 的坐
标，利用抛物线的定义结合 可求得 的值，进而可得出 与 的标准方程.
【详解】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；（2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标
准方程，考查计算能力，属于中等题.
20.如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为
1 1 1 1 1
BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F.
1 1 1 1
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN
1 1 1 1 1 1 1
所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证
，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；
（2）连接 ，先求证四边形 是平行四边形，根据几何关系求得 ，在 截取
，由（1） 平面 ，可得 为 与平面 所成角，即
可求得答案.
【详解】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）连接
平面 ，平面 平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面 平面 ，面 平面故：四边形 是平行四边形
设 边长是 ( )
可得： ，
为 的中心，且 边长为
故：
解得：
在 截取 ，故
且
四边形 是平行四边形，
由（1） 平面
故 为 与平面 所成角
在 ，根据勾股定理可得：直线 与平面 所成角的正弦值： .
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直
转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.
21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，当 时， 单调递增.（2）证明见解
析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原
函数的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即
可证得题中的不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
，然后结合
(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，则：，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
(3)结合(2)的结论有：.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的
知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解
析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所
选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t
1 2 1 2
为参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由 得 的普通方程为： ；由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐
标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且
仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考
题型.
