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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实
数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣
3）
2．（5 分）已知集合 A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x Z}，则
A∪B等于（ ）
∈
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量 =（1，m）， =（3，﹣2），且（ + ）⊥ ，则m=（
）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=
（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位
于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径
条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为（ ）A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图
象的对称轴为（ ）
A．x= ﹣ （k Z） B．x= + （k Z）
∈ ∈
C．x= ﹣ （k Z） D．x= + （k Z）
∈ ∈
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序
框图．执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则
输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．349．（5分）若cos（ ﹣α）= ，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x ，x ，…，x ，y ，y ，…，y 构
1 2 n 1 2 n
成n个数对（x ，y ），（x ，y ）…（x ，y ），其中两数的平方和小于 1
1 1 2 2 n n
的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F ，F 是双曲线E： ﹣ =1的左，右焦点，点M在E上，
1 2
MF 与x轴垂直，sin∠MF F = ，则E的离心率为（ ）
1 2 1
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
∈
与y=f（x）图象的交点为（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ），则
1 1 2 2 m m
（x+y）=（ ）
i i
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC=
，a=1，则b= ．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
⊂
其中正确的命题是 （填序号）
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各
取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切
线，则b= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）S 为等差数列{a }的前n项和，且a =1，S =28，记b =[lga ]，其
n n 1 7 n n
中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b ，b ，b ；
1 11 101
（Ⅱ）求数列{b }的前1000项和．
n
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人
成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点
E，F分别在AD，CD上，AE=CF= ，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到
△D′EF的位置，OD′= ．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20．（12分）已知椭圆E： + =1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率
为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）= ex的单调性，并证明当x＞0时，（x
﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a [0，1）时，函数g（x）= （x＞0）有最小值．设g
∈
（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点
重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方
程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是 （t为参数），l与C交与A，B两点，|
AB|= ，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．
∈
