文档内容
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣ ） B．（﹣3， ） C．（1， ） D．（ ，3）
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）已知等差数列{a }前9项的和为27，a =8，则a =（ ）
n 10 100
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间
不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1， ） C．（0，3） D．（0， ）
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互
垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alog c＜blog c D．log c＜log c
b a a b
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出x，y的
值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
10．（5分）以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交 C的准线于
D、E 两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为
（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A B C D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABCD=m，α∩平面ABB A =n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f
（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上
单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m=
．
14．（5分）（2x+ ）5的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答
案）
15．（5分）设等比数列{a }满足a +a =10，a +a =5，则a a …a 的最大值为
n 1 3 2 4 1 2 n
．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生
产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品 B
需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为
2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料 150kg，乙材
料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和
的最大值为 元．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC
（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正
方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是
60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器
有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200
元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三
年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生
的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台
机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与n=20之中选
其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴
不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直
1 1
线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是f（x）的两个零点，证明：x +x ＜2．
1 2 1 2
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系 xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数，a＞
1
0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C 是哪种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；
1 1
（Ⅱ）直线C 的极坐标方程为θ=α ，其中α 满足tanα =2，若曲线C 与C 的公
3 0 0 0 1 2
共点都在C 上，求a．
3
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣ ） B．（﹣3， ） C．（1， ） D．（ ，3）
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．
【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），
B={x|2x﹣3＞0}=（ ，+∞），
∴A∩B=（ ，3），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】A8：复数的模．
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【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，
∴x+xi=1+yi，
即 ，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本
题的关键．
3．（5分）已知等差数列{a }前9项的和为27，a =8，则a =（ ）
n 10 100
A．100 B．99 C．98 D．97
【考点】83：等差数列的性质．
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【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据已知可得a =3，进而求出公差，可得答案．
5
【解答】解：∵等差数列{a }前9项的和为27，S = = =9a ．
n 9 5
∴9a =27，a =3，
5 5
又∵a =8，
10
∴d=1，
∴a =a +95d=98，
100 5
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答
的关键．
4．（5分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间
不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算
公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P= = ，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1， ） C．（0，3） D．（0， ）
【考点】KB：双曲线的标准方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】由已知可得 c=2，利用 4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得 m2=1，又
（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，
当焦点在x轴上时，
可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，
∵方程 ﹣ =1表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，
无解．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础
题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互
垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间
位置关系与距离．
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后
求解几何体的表面积．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如
图：
可得： = ，R=2．
它的表面积是： ×4π•22+ =17π．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间
想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利
用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2 （0，1），故排除A，B；
当x [0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，
∈
∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，
∈
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排
除法解答．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alog c＜blog c D．log c＜log c
b a a b【考点】R3：不等式的基本性质．
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【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；
5T：不等式．
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分
析各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc
＞bac；故B错误；
log c＜0，且 log c＜0，log b＜1，即 = ＜1，即 log c＞log c．故D
a b a a b
错误；
0＜﹣log c＜﹣log c，故﹣blog c＜﹣alog c，即 blog c＞alog c，即 alog c＜
a b a b a b b
blog c，故C正确；
a
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数
的单调性，是解答的关键．
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出x，y的
值满足（ ）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出
变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可
得答案．
【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，
则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，
则x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，
则x= ，y=6，满足x2+y2≥36，
故y=4x，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常
采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交 C的准线于
D、E 两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥
曲线的定义、性质与方程．
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求
解即可．
【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 ，
|DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，
x = = ，
A
|OD|=|OA|，
= +5，
解得：p=4．
C的焦点到准线的距离为：4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查
计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A B C D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABCD=m，α∩平面ABB A =n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间
角．
【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB D ，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA B =n，
1 1 1 1
可知：n∥CD ，m∥B D ，∵△CB D 是正三角形．m、n 所成角就是
1 1 1 1 1
∠CD B =60°．
1 1
则m、n所成角的正弦值为： ．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5分）已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f
（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上
单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣ 为f（x）的零点，
x= 为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（
， ）上单调，可得ω的最大值．
【解答】解：∵x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，
∴ ，即 ，（n N）
即ω=2n+1，（n N） ∈
即ω为正奇数，
∈
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ﹣ = ≤ ，
即T= ≥ ，解得：ω≤12，
当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k Z，
∈
∵|φ|≤ ，
∴φ=﹣ ，
此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k Z，
∈
∵|φ|≤ ，
∴φ= ，此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度
较大．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m=
﹣ 2 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．
【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即
可．
【解答】解：| + |2=| |2+| |2，
可得 • =0．
向量 =（m，1）， =（1，2），
可得m+2=0，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能
力．
14．（5 分）（2x+ ）5的展开式中，x3的系数是 10 ．（用数字填写答
案）
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．
【解答】解：（2x+ ）5的展开式中，通项公式为：T = =25﹣
r+1
r ，
令5﹣ =3，解得r=4
∴x3的系数2 =10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
15．（5分）设等比数列{a }满足a +a =10，a +a =5，则a a …a 的最大值为 6 4
n 1 3 2 4 1 2 n
．
【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．
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【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】求出数列的等比与首项，化简a a …a ，然后求解最值．
1 2 n
【解答】解：等比数列{a }满足a +a =10，a +a =5，
n 1 3 2 4
可得q（a +a ）=5，解得q= ．
1 3
a +q2a =10，解得a =8．
1 1 1
则a a …a =a n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n• = = ，
1 2 n 1
当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考
查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生
产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品 B
需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为
2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料 150kg，乙材
料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和
的最大值为 21600 0 元．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化
思想．
【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式
组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求
出其最大值即可；
【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．
由题意，得 ，z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A
（60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：
2100×60+900×100=216000元．
故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的
解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解
答时求出最优解是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC
（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
【考点】HU：解三角形．
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【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函
数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的
度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出 a+b的
值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC= ，
∴C= ；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab• ，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S= absinC= ab= ，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+ ．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒
等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正
方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是
60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；
5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求
出平面 BEC、平面 ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E﹣BC﹣A
的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF 平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC；
⊂
（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；
由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，
∵BE⊥EF，
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE，
可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB 平面EFDC，EF 平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
⊄ ⊂
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB 平面ABCD，
∴AB∥CD，
⊂
∴CD∥EF，
∴四边形EFDC为等腰梯形．
以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0），
∴ =（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为 =（x ，y ，z ），则 ，
1 1 1
则 ，取 =（ ，0，﹣1）．
设平面ABC的法向量为 =（x ，y ，z ），则 ，
2 2 2
则 ，取 =（0， ，4）．
设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=
= =﹣ ，
则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣ ．
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，
建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器
有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200
元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三
年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机
器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与n=20之中选
其一，应选用哪个？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别
求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足P
（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）= ．求出买19个所需费用期望EX
1
和买20个所需费用期望EX ，由此能求出买19个更合适．
2
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一
部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出 n=19 时，费用的期望和当
n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（ ）2= ，
P（X=17）= ，
P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，
P（X=19）= = ，
P（X=20）= = = ，
P（X=21）= = ，
P（X=22）= ，
∴X的分布列为：
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）
= = ．
P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
= + = ．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P
（X=19）
= + = ．
买19个所需费用期望：
EX =200× + （ 200×19+500 ） × + （ 200×19+500×2 ） ×
1+（200×19+500×3）× =4040，
买20个所需费用期望：
EX = +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，
2
∵EX ＜EX ，
1 2
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，
当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，
∴买19个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档
题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴
不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直
1 1
线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、
性质与方程．
【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的
性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E的轨迹为以A，B为
焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|
MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦
长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，
即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，
可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，
由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，
由AC=AD，可得∠D=∠C，
即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，
则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ，
则点E的轨迹方程为 + =1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C ： + =1，设直线l：x=my+1，
1
由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），
由 可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
可得y +y =﹣ ，y y =﹣ ，
1 2 1 2
则|MN|= •|y ﹣y |= •
1 2
= • =12• ，
A到PQ的距离为d= = ，
|PQ|=2 =2 = ，则四边形MPNQ面积为S= |PQ|•|MN|= • •12•
=24• =24 ，
当m=0时，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24• =8 ，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8 ）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭
圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考
查不等式的性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是f（x）的两个零点，证明：x +x ＜2．
1 2 1 2
【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数
的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）
ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可
得答案．（Ⅱ）设 x ，x 是 f（x）的两个零点，则﹣a= = ，令 g
1 2
（x）= ，则g（x ）=g（x ）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞
1 2
0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= ，
设h（m）= ，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即
g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x ＞0，可得结论．
1
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，
∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①若a=0，那么f（x）=0 （x﹣2）ex=0 x=2，
函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；
⇔ ⇔
②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，
由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；
当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，
∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣
1）﹣e，
令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t ，t ，且t ＜t ，
1 2 1 2
则当x＜t ，或x＞t 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，
1 2
故函数f（x）在x＜1存在一个零点；
即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；
③若﹣ ＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，
当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，
ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，
由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣
2a）﹣2]2+1}＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
④若a=﹣ ，则ln（﹣2a）=1，
当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故函数f（x）在R上单调递增，
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若a＜﹣ ，则ln（﹣2a）＞lne=1，
当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=1时，函数取极大值，
由f（1）=﹣e＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为（0，+∞）
证明：（Ⅱ）∵x ，x 是f（x）的两个零点，
1 2
∴f（x ）=f（x ）=0，且x ≠1，且x ≠1，
1 2 1 2∴﹣a= = ，
令g（x）= ，则g（x ）=g（x ）=﹣a，
1 2
∵g′（x）= ，
∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
设 m ＞ 0 ， 则 g （ 1+m ） ﹣ g （ 1﹣m ） = ﹣ =
，
设h（m）= ，m＞0，
则h′（m）= ＞0恒成立，
即h（m）在（0，+∞）上为增函数，
h（m）＞h（0）=0恒成立，
即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m=1﹣x ＞0，
1
则g（1+1﹣x ）＞g（1﹣1+x ） g（2﹣x ）＞g（x ）=g（x ） 2﹣x ＞x ，
1 1 1 1 2 1 2
即x +x ＜2．
1 2 ⇔ ⇔
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨
论思想，难度较大．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．
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【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK．根据等腰三角形 AOB 的性质知
OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，则AB是圆O的切线．
（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，
∴直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设 T是A，
B，C，D四点所在圆的圆心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT为AB的中垂线，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT为CD的中垂线，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能
力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．
[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系 xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数，a＞
1
0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C 是哪种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；
1 1
（Ⅱ）直线C 的极坐标方程为θ=α ，其中α 满足tanα =2，若曲线C 与C 的公
3 0 0 0 1 2
共点都在C 上，求a．
3
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方
程．
【分析】（Ⅰ）把曲线C 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方
1
程，可知曲线C 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；
1
（Ⅱ）化曲线C 、C 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x为圆C 与
2 3 1
C 的公共弦所在直线方程，把C 与C 的方程作差，结合公共弦所在直线方程
2 1 2
为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由 ，得 ，两式平方相加得，x2+（y
﹣1）2=a2．
∴C 为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
1
化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①
由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；
（Ⅱ）C ：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，
2
∴x2+y2=4x，②
即（x﹣2）2+y2=4．
由C ：θ=α ，其中α 满足tanα =2，得y=2x，
3 0 0 0
∵曲线C 与C 的公共点都在C 上，
1 2 3
∴y=2x为圆C 与C 的公共弦所在直线方程，
1 2
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C ，
3
∴1﹣a2=0，
∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐
标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出 f（x）的解析式，由分段函数的画法，
即可得到所求图象；
（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜ 时，当x≥ 时，解绝对值不等式，
取交集，最后求并集即可得到所求解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜ 时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜ ，
即有﹣1＜x＜ 或1＜x＜ ；
当x≥ 时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或 ≤x＜3．
综上可得，x＜ 或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞， ）∪（1，3）∪（5，+∞）．
【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图
象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．
